ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие сведения о периодических и автономных системах из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Правые части полученной системы не зависят явно от времени, т. е. эта система имеет вид (1.2). Фазовым пространством системы (1.3) служит описанное тороидальное пространство Х,Ь г отождествленными между собой точками вида X, б + Аш). [c.10] Поведение динамических систем хорошо изучено (см. книги [1, 2)). Здесь мы приведем лишь некоторые, особенно важные для дальнейшего результаты. [c.10] Читься. ЧТО одно из чисел Т , или оба они несобственные). Будем называть множество точек Ф(р. t) Tj i Tj траекторией системы (1.2) и обозначать Ф(/ . Iq). Множество точек Ф р, t) О i Гз будем называть положительной полутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория. [c.11] Если точка р такова, что F p) — 0, то ясно, что X — p,t) = p при всех t —оо,- -оо). Такие точки 11н 1ываются состояниями равновесия. [c.11] Пусть точка р такова, что существует т О, такое, что ф(р, т) = /7 и 0(p,t) p при О i 1. Тогда имеем. [c.11] Таким образом, вектор-функция Ф(р, t) оказывается периодической с периодом т, а траектория Ф(р, —oo i -f-oo) представляет собой замкнутую кривую. [c.11] Предельная точка отрицательной полутраектории Ф(р, t) Р / — оо называется а-предельной точкой траектории Ф(р. t). [c.12] Теорема /./. Множество предельных точек всякой полутраектории инвариантно и замкнуто. [c.12] точка Ф( , t) является предельной для полутраектории Ф(р, t) 0 / 4-00- Отсюда следует, что предельное множество этой полутраектории инвариантно. [c.12] Отсюда следует, что р (Ф (р, t), q) е это и доказывает, что точка q — предельная для нашей полутраектории. Теорема доказана. [c.12] В дальнейшем нас, естественно, будут больше всего интересовать ограниченные решения. Траектории, соответ-стнующие таким решениям, имеют специальное название. [c.13] Из принципа выбора Больцано — Вейерштрасса следует, что множество предельных точек устойчивой по Лагранжу полутраектории не пусто. [c.13] Теорема 1.2. Если полутраектория устойчива по Лагранжу, то множество ее предельных точек связно. [c.13] Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему. [c.14] Определение 1.2. Множество Е точек фазового пространства называется минимальным, если оно не пусто, замкнуто, инвариантно и не имеет истинного подмножества, обладающего этими свойствами. [c.14] Состояние равновесия и траектория периодического движения являются, очевидно, минимальными множествами. [c.14] Вернуться к основной статье