ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Генераторы на туннельных диодах из "Стохастические и хаотические колебания " Вид функции f z) показан на рис. 9.3, б. При достаточно малых е движение системы в фазовом пространстве будет состоять из медленных раскручиваний относительно состояния равновесия х = О, у = О на поверхности малых 2, соответствующих левой ветви функции /(г), и быстрых перескоков на правую ветвь функции Цг) и обратно. При обратном перескоке на поверхность малых 2 величина у оказывается малой, т. е. происходит ее быстрый сброс. В этом отношении данный генератор аналогичен рассмотренному в предыдущем параграфе. [c.265] В работе [682] рассмотрена схема генератора с двумя туннельными диодами (рис. 9.6). Численное решение уравнений такого генератора показало, что в определенной области параметров колебания оказываются стохастическими, причем соответствующее точечное отображение является разрывным и зкс-поненциально неустойчивым (рис. 9.7,а), а спектр колебаний — сплошным (рис. 9.7,6). Интересно отметить, что точечное отображение на рис. 9.7, а полностью совпадает с приведенным на рис. 3.14, б. [c.267] Колебательные системы с одной степенью свободы, находящиеся под действием внешних сил, имеют трехмерное фазовое пространство, где третьей координатой является время. В таких системах хаотические колебания возможны даже при периодических внешних воздействиях. Подобные колебания наблк дались как в численных, так и в физических экспериментах. [c.267] ТОТЫ ш, при котором наступает хаос, равно оо = 0,5567. Дальнейшее уменьшение частоты и приводит снова к периодическим колебаниям, причем их амплитуда соответствует нижней ветви резонансной кривой. [c.268] Возникающий хаос, по мнению авторов [432], обусловлен случайными переходами изображающей точки в фазовом пространстве из области вблизи одного неустойчивого цикла в близко расположенную область вблизи другого неустойчивого цикла. [c.273] В отличие от (3.1), уравнения вида (3.3) и (3.3 ) допускают решения, соответствующие регулярным и нерегулярным вращениям маятника в ту или иную сторону. Такие решения получены численно в [543] и наблюдались зксперимептальпо в [432]. [c.275] На бифуркационной диаграмме (рис. 9.14) они характеризуются числом п, равным числу оборотов за период внешней силы. В области хаоса число оборотов и направление вращения от периода к периоду могут изменяться. [c.275] Хаотизация колебаний происходит и при периодическом воздействии на нелинейные осцилляторы, описываемые более сложными уравнениями [496, 497], и систему связанных нелинейных осцилляторов [123, 211, 583]. Этим явлением пытаются объяснить возникновение некоторых болезней сердца, например. [c.276] 9) следует, что 1(2я) = 2(2я) = 1 + 2я 8 (1 — 2с ). Отсюда и из ( 10) находим условие устойчивости с 1/2, т. е. [c.279] ВМ =(У117 — 9)/18 0,1. Численные расчеты, проведенные Т. С. Ланда, дали следующие результаты при а = 0,1 Vo = 9,5 1 = 6,9 з = 21,5 при vo = 20 и том же а — 1 = 14,15 д = = 91,70. Эти значения близки к теоретическим при а = 0 = = 6,72 д = 20,49 для у = 9,5 д1 — 14,14 д = 90,83 для Vo = 20. [c.280] При д д ъ зависимости от начальных условий маятник может совершать незатухающие периодические колебания с периодом 4я/vo относительно нижнего либо верхнего положения равновесия. Кроме того, возможны режимы регулярного вращения, когда за период колебаний оси подвеса маятник совершает один оборот в ту или иную сторону. Проекция фазового портрета на плоскость х, х при а = 0,1 л о = 20 д = 95,92, полученная на ЭВМ, представлена на рис. 9.19, а [225]. Вид реализации процесса х 1), его спектральная плотность и форма предельного цикла, соответствующие колебаниям относительно верхнего положения равновесия, при тех же значениях параметров показаны на рис. 9.19, б, в и г. Отметим, что области притяжения предельных циклов снаружи являются довольно узкими. При сравнительно небольших отклонениях от этих циклов маятник переходит во вращательный режим. [c.280] Начиная с некоторого значения q — qг ( г 98,47 при Vo = 20) устойчивые предельные циклы вокруг верхнего и нижнего положений равновесия сливаются с неустойчивыми и исчезают, В результате остаются лишь режимы регулярного вращения. Для таких режимов вьшолняются следуюпще условия x t+ 2nn/V( ) — 2nm=x(t), x(t+2nn/vo) = x t), где ге = 1, 2,., 7 г = 1, 2,, .. (синхронизмы типа п, т, как они были названы в гл, 7). [c.281] Отметим, что характер полученного точечного отображения в рассматриваемом случае а = 0,1 такой же, как и при отсутствии диссипации (а = 0). Это видно из сравнения рис. 9.22,5 и 9.25, а [671]. При значительно больших значениях а характер точечного отображения существенно изменяется (рис. 9.25,6). [c.285] По существу, первой динамической системой, в которой численно были обнаружены и исследованы стохастические автоколебания, как уже говорилось, является система уравнений Лоренца [563], описывающая в трехмсдовом приближении конвективное движение в слое жидкости. [c.288] О свойствах системы уравнений Лоренца говорилось уже очень много (см. 3 гл. 7). Она исследовалась также в большом числе работ. Кроме тех, которые уже были указаны, отметим следующие [10, И, 81, 98, 233, 302, 308, 321, 375, 384, 458, 460, 556, 567, 572, 578, 579, 625, 635, 648-650, 655, 662, 686]. Некоторые результаты этих работ, представляющие собой существенное добавление к сказанному ранее, будут изложены ниже. [c.290] В области стохастичности спектр колебаний в системе Лорепца является сплошным и достаточно широким (рис. 9.30), что свидетельствует о наличии сильного перемешивания 441]. Приближенный расчет спектра выполнен в работе [567. Емкость аттрактора Лоренца близка к двум. Так, при Ь = 4, о = 16, г = 40 она равна й = 1,98 0,02 [578, 579] (ляпуновская размерность, вычисленная по формуле Каплана — Йорке, ь = 2,06 [587]). Зависимость максимального ляпуновского показателя от параметра г для указанных значений Ь и о, на основе которой в [587] вычислялась ляпуновская размерность, приведена на рис. 9.31 [686]. Интересно отметить, что в области значений г вблизи г р 33,45 эта зависимость имеет такой же вид, как на рис. 8.28. Штрих-пунктирная кривая на рис. 9.31 соответствует метастабильпому хаосу. [c.290] Остановимся далее на поведении системы уравнений Лоренца при больших значениях параметра г. Известно, что при достаточно больших значениях г (г 313) решение уравнений Лоренца всегда является периодическим. Форму и размеры предельного цикла при этих значениях г удается приближенно рассчитать аналитически [52, 53, 308, 375, 391, 648 . Для этого удобно произвести замену переменных, использованную в [375, 648, 649]. [c.291] Обратим внимание на то, что при увеличении параметра г размах колебаний переменной X увеличивается как Тг а период колебаний в исходном времени t уменьшается как 1/Уг. [c.294] В первом случае физический механизм быстрого сброса энергии, необходимого для возникновения хаоса, такой же, как у системы Лоренца, и обусловлен модуляцией частоты колебаний переменной х колебаниями переменной у. По зтой причине такой механизм назван в [54, 220, 392] параметрическим. В отличие от него механизм сброса энергии во втором случае назван силовым [54, 392]. В обоих случаях система уравнений (4.2) является диссипативной, поскольку (11у х, х, г/ = — (26 + ) 0. [c.296] В случае б вид аттрактора и характер точечного отображения существенно отличаются от случая а (рис. 9.38). Зависимость х от X, построенная нэ основе точечного отображения на секущей плоскости х = —0,13 (рис. 9.38,6) по форме близка к параболе (рис. 9.38, в). Переход от периодического режима к хаотическому при изменении параметров наблюдался только путем бифуркаций удвоения периода. По сравнению со случаем а спектр колебаний в режиме хаоса является более узким, а корреляционная функция спадает медленнее (рис. 9.39). [c.300] Вернуться к основной статье