ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейный осциллятор с отрицательным трепием и ударами и другие системы с разрывными характеристиками из "Стохастические и хаотические колебания " В настоящее время в литературе часто встречаются утверждения об аналогии между переходами динамических систем от движений одного типа к движениям другого типа (например, от состояния равновесия к периодическому движению, от регулярного движения к хаотическому, от одних хаотических режимов к другим и т. п.) и известными в статистической физике фазовыми переходами второго рода [56, 106, 127, 232, 241, 298, 309, 327, 338, 339, 355, 356]. Действительно, между этими явлениями формально имеется много общего, что проявляется, в частности, в степенной зависимости некоторых величин, имеющих смысл параметра порядка (или беспорядка), от разности между бифуркационным параметром и его критическим значением. (В статистической физике роль бифуркационного параметра играет температура.) Особо важным является тот факт, что показатель степени, называемый критическим индексом, универсален для целого класса систем, совершающих фазовый переход. [c.239] Качественные зависимости Я от ц при ц для квадратичного отображения без шума (сплошная линия) и при наличии малого шума (штриховая линия) приведены на рис. 8.12. [c.241] Эти равенства эквивалентны (4,12). [c.244] При этом 5о((й) в интервале от О до 2л/Т считается константой (белый шум). Формула (4.13) хорошо согласуется с непосредственными численными расчетами спектральной плотности для квадратичного отображения, выполненными в [680]. Результаты сравнения приведены на рис. 8.16, где кривые 1 соответствуют численным данным, а 2 — тёории без учета дискретных составляющих спектра (кривые 2 для удобства смещены вниз). [c.245] В работе [210] получены некоторые универсальные закономерности при малом внешнем периодическом воздействии на систему, описываемую одномерным точечным отображением типа параболы. Показано, что с ростом величины воздействия значения бифуркационного параметра [х , соответствующие ге-й бифуркации удвоения периода, монотонно растут. (В случае нерезонансного воздействия найденные значения соответствуют бифуркациям удвоения квазипериода тора.) Отметим, что распространение полученных результатов на область хаоса, возможно, позволит объяснить наличие порога синхронизации и его связь с положительным ляпуновским показателем. [c.247] В этих же работах, а также в [304, 435] рассмотрено влияние внешнего шума на поведение системы и показано, что в случае е = О средняя длительность ламинарной фазы т пропорциональна где шума. Чтобы получить этот результат, авторы работ [304, 503] переходят от уравнения Ланжевена к соответствующему уравнению Фоккера — Планка. Однако решение этого уравнения получено в [304, 503] при граничных условиях, не соответствующих рис. 8.18. Соответствующие граничные условия получены в работе [229], результаты которой будут изложены ниже. [c.248] Постоянная ( о определяется из условия нормировки при интегрировании по всем значениям а от — до Хг, т. е. [c.250] 24) видно, что при z = 2 распределение вероятностей при отсутствии шума имеет форму лоренцевской линии с максимумом в точке а = О и шириной V г/а. [c.250] При наличии шума малой интенсивности, когда г, форма распределения вероятностей, описываемая выражениями (4.21), (4.22), близка к (4.24), но максимум несколько смещен в сторону отрицательных значений х. Как показали численные расчеты, при г функция w (а ,) очень слабо зависит от е. Графики функции w x), построенные по результатам этих расчетов для различных значений параметров, приведены на рис. 8.19. [c.250] Вычислим далее ляпуновский показатель X для рассматриваемого отображения, используя в качестве исходной формулу (4.5). При этом существенным может оказаться следующий член разложения отображения на участке 7, содержащий нечетную степень г. [c.252] Отсюда видно, что Я О, т. е. движение стохастическое, если выражение в фигурных скобках в (4.32) положительно. В противном случае после перехода возникает периодическое движение с большим периодом. При этом поведение системы может быть хаотическим в указанном в гл. 3 смысле. Отметим, что аттрактор в фазовом пространстве системы, соответствующий ее хаотическому поведению, в работах [45, 381] был назван квазиаттрактором, хотя более точно его следовало бы назвать квазистранным аттрактором. [c.253] Слёдует заметить, что выражение (4.31) определяет величину ляпуновского показателя весьма приближенно, поскольку основной вклад в интеграл дают далекие от нуля значения х, при которых ошибка, возникающая при переходе от разностного уравнения к дифференциальному, больше, и следовательно, значения ю х) вычислены менее точно. [c.253] В области —Ъ а Ь В уравнение, (4.36) следует добавить источник, вид которого можно вычислить. Однако ради простоты в силу малости величины й этот источник можно считать постоянным и равным некоторой неизвестной величине Я. Значение Я определяется из условий непрерывности плотности и потока вероятностей в точках ж==Оиа = Ь. [c.255] Графики функции ю х) при а = 30, Жо = 0,01, 8 = 10 , А — (А /2) (е + о о) Жо = 3 10 и различных значениях параметров 2 и приведены на рис. 8.24. Как следует из результатов численного счета, при ,(2), где 10 для 2 = 2 и Ю для 2 = 4, распределение вероятностей практически перестает зависеть от Кроме того, при 10 оно почти одинаково для 2 = 2 и 2 = 4 (сравните кривую 3 на рис. 8.24, а и кривую 2 на рис. 8.24, б). [c.256] 47) видпо, что в этом случае ляпуновский показатель может быть положительным даже при достаточно малых А 1. [c.258] Это связано с тем, что при е О весь участок отобра-гкепия I является растягивающим. При достаточно малых е, как следует из (4 47) и (4.44), величина X с ростом е нарастает пропорционально Зависимости Я, от 8 при различ-гшх значениях (а) и от при 8 = 0 (б) показаны на рис. 8 26. Отметим, что в отличие от ранее рассмотренного случая внешний шум дестабилизирует поведение системы, существенно увеличивая ляпуновский показатель. Это отличие также связано с тем, что при е О отображение в области I не имеет сжимающих участков. [c.258] Из полученных здесь и выше результатов следует, что переход к стохастичности через перемежаемость аналогичен фазовому переходу второго рода, причем в качестве параметров беспорядка можпо рассматривать либо Я, либо х . Для обоих параметров критические индексы получаются одинаковыми и зависящими лишь от показателя степени 2, т. е. от характера отображения вблизи точки касания или точки перегиба. [c.258] В остальных цитированных выше работах отображение (4.50) рассматривается при О Ь 1. Оказывается, что закономерность (4.51) справедлива и в этом случае, только 8 К) = = —W при O k l и 6 К) == —W при К = Кс. Для Ь = 0,5 К, = 0,9788. .. [c.261] В работе [531] на примере отображения (4.50) с Ь = О показано, что при критическом значении К, равном единице, области значений Q, где W = p/q, образуют канторовское множества с фрактальной размерностью d = 0,87. [c.261] В настоящее время известно большое количество реальных и модельных механических, физических, химических и биологических систем, в которых происходящие процессы имеют хаотический характер. Поскольку аналитическое исследование таких систем, как правило, невозможно, то вывод о наличии хаотических или стохастических движений делается на основе анализа результатов численных или натурных экспериментов. Подобных результатов уже накопилось очень много. Некоторые из них будут изложены ниже, причем основное внимание будет уделено результатам численного эксперимента. [c.262] Вернуться к основной статье