ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ляпуновские показатели. Размерность и энтропия стохастического аттрактора из "Стохастические и хаотические колебания " Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227] Заметим, что для траекторий, лежащих на аттракторе, величины не зависят не только от начальной точки Хо на выбранной траектории (что следует из произвола в выборе начала отсчета времени), но и от самой траектории. [c.228] Топологическая энтропия характеризует степень разбегания близких фазовых траекторий. Если траектории со временем не разбегаются либо разбегаются недостаточно сильно (например, по степенному закону), то Л = 0. В противном случае Л 0. [c.229] Такие количественные характеристики стохастических движений, как размерность и метрическая энтропия, которые будут описаны ниже, строго говоря, относятся только к генераторам стохастических колебаний. В какой-то мере их можно использовать и для усилителей стохастичности с пренебрежимо малым порогом хаотизации при условии фиксированных малых случайных воздействий. [c.229] Подчеркнем, что мера расположенного на прямой канторова множества равна нулю, а емкость отлична от нуля и равна дробному числу. [c.231] Можно показать, что выражение (2.14) является пределом выражения (2.15) при д i. Отметим, что метрическая энтропия К никогда не превышает топологическую энтропию h [382, 426]. [c.234] Для расчета метрической энтропии удобно использовать формулу, связывающую ее с ляпуновскими показателями. Я. Б. Пе-синым [301] установлено, что энтропия К на аттракторе равна сумме положительных ляпуновских показателей, т. е. [c.234] Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235] Пусть Xi, Xi,. .Хп — последовательные значения одной из координат фазового пространства системы x[t) через промежутки времени т, т. е. xi==x i%). Из этих значений можно сконструировать новую динамическую систему размерности пъ, взяв в качестве г-го значения вектора у , описывающего положение точки в новом фазовом пространстве, уXj+i,. .., Xj+m-i . Теорему Такенса можно сформулировать следующим образом. Ддя почти любых наблюдаемой реализации x(t) ж времени задержки т аттрактор сконструированной динамической системы размерности т будет иметь те же свойства (например, ту же размерность и тот же спектр ляпуновских показателей), что и исходный, если только тп 2 н + 1, где dg — хаусдорфова размерность исходного аттрактора. Эта теорема является следствием теоремы Манье [571]. [c.235] Для каждого тп тем или иным способом можно вычислить размерность аттрактора и энтропию сконструированной динамической системы. Вначале с ростом тп размерность будет увеличиваться, а энтропия как-то изменяться, а затем они достигнут постоянных значений, которые можно принять за размерность и энтропию аттрактора исходной системы. [c.235] Величину т следует увеличивать до тех пор, пока наклон зависимостей In m(e) от 1пе не достигнет насыщения. [c.235] Вернуться к основной статье