ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О возникновении хаоса и стохастичности в диссипативных динамических системах из "Стохастические и хаотические колебания " Подведем краткий итог соображениям о причинах и путях возникновения хаоса и стохастичности в диссипативных динамических системах. Приводимые выше примеры системы Лоренца и ротатора с параметрическим возбуждением будут существенно пополнены в гл. 9, содержащей описания и анализ конкретных систем, допускающих стохастические и хаотические колебания. [c.209] Дальнейшее продвижение требует изучения точечных отображений Г и / , описывающих разбегание и соответственно сброс. Для многих случаев это было сделано в гл. 6 при рассмотрении ситуаций 1—10. Сейчас это рассмотрение будет продолжено в более общем плане. [c.210] Этот характер зависимости последующих значений Хп от предыдущих является общим для стохастических движений, он следует из так называемой символической записи движений детерминированной динамической системы. [c.211] Обоснованием такой символической записи могут служить теоремы гл. 6 о существовании и единствеппости тех или иных последовательностей точечных отображений. Так, для точечного отображения Т прямой в прямую, изображенного на рис. 7.48, обратное-отображение сжимающее и двузначное. [c.211] Таким образом, точки Хо отрезка [О, 1] и всевозможные последовательности (5.5) находятся во взаимно однозначном соответствии, а последовательности (5.5) можно трактовать как некоторую обобщенную двоичную запись числа Хо. Для отображения рис. 7.48 это обычная двоичная запись числа Хо. Если отображение рис. 7.48 заменять на отображение рис. 7.49, то- взаимная однозначность сохранится, но последовательпость (5.5) уже не будет обычной двоичной записью числа Хо. [c.212] Вьппе речь шла о некотором идеальном сочетании нарастания и разбегания с последующим сбросом. [c.213] Перейдем теперь к вопросу о том, как сочетаются в фазовом пространстве разбегание и сброс. Как сочетаются нарастание и ограничение нарастания, хорошо известно, и на этом мы останавливаться не будем. Нас будут интересовать только нарастание и сброс, приводящие к хаотизации и стохастичности. [c.214] В основе возникновения стохастических и хаотических движений лежат гомоклинические структуры, именно они порождают сочетание неустойчивости, локального разбегания и общего сжатия. Вместе с тем переход от устойчивости к неустойчивости требует исчезновения устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических движений или достаточно большого увеличения их иериодов, точнее, длин соответствующих фазовых кривых. Устойчивые периодические движения и состояния равновесия могут потерять устойчивость или исчезнуть лишь несколькими вполне определенными способами. В этом смысле можно говорить о различных путях перехода к хаосу и стохастичности. Эти возможные пути были описаны в 1 этой главы. Позволим себе их вкратце перечислить. [c.214] Это краткое описание необходимо пополнить бифуркациями периодических движений в резонансных случаях 1 3 и 1 4, а также резонансными бифуркациями тора. [c.215] С периодическими движениями на торе могут произойти все бйфуркации, возможные для периодических движений. При этом, опять-таки, следует различать случаи, когда бифуркации происходят на торе и вне его. [c.215] Таковы возможные пути исчезновения устойчивых движений — необходимой предпосылки хаотизации и стохастизации движений динамической системы. Сами по себе они еще не приводят к хаотизации движений, но необходимы для ее возникновения. Более того, в областях, где нет устойчивых состояний равновесия и периодических движений, хаотизация может возникнуть и без этой предварительной подготовки , не в результате подмены простого аттрактора хаотическими движепиями. Хаотические движения могут жестко возникнуть в области притяжения состояния равновесия или периодического движения. [c.215] Сравнительно простые гомоклинические структуры возникают при преобразовании прямой в прямую и в системе уравнений Лорепца. [c.216] Вернуться к основной статье