ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации и фазовый портрет осциллятора и ротатора с параметрическим возбуждением из "Стохастические и хаотические колебания " Как уже отмечалось, представление о множестве точек бифуркации как о некоторых поверхностях в пространстве параметров оправдалось далеко пе полностью. Следующим естественным усложнением этой примитивной картины является представление о сериях бифуркаций, о бесконечных множествах поверхностей, накапливающихся к некоторой предельной поверхности, или поверхностям, которые, в свою очередь, также образуют бесконечные множества. Настоящий параграф посвящен рассмотрению некоторых из таких серий. [c.168] Так будет происходить при е = 0. [c.171] Рассмотренные ранее примеры вложенных структур и матрешка соответствовали тп = i. Новое, формальное определение несколько более общее. Согласно этому более общему определению для вложенности структур с тп должен существовать гомеоморфизм т , преобразующий окрестность б в лежащую внутри нее окрестность ii6, такой, что выполняется соотношение (2.11). [c.175] Это означает, что решение уравнения (2.13) относительно Д при всевозможных О а 1 дает все с точностью до эквивалентности отображения, допускающие вложенные структуры с заданным числом т. [c.176] Таким образом, вопрос о вложенных структурах свелся к во]г-росу о неподвижных точках отображения 2, определенного в пространстве отображений. [c.176] Таково возможное объяснение возникновения серий бифуркаций удвоения. Ни для одномерного, ни тем более для многомерного отображения описанная картина те получила полного доказательства, хотя она хорошо подтверждается численными вычислениями неподвижной точки отображения 2 , возможностью приближенного определения числа а и собственного значения, большего единицы, и нескольких других, меньших единицы. Наличие и характер пересечения кривой и поверхности не выяснялся. [c.177] Помимо серий удвоения, можпо ожидать серии бифуркаций утроения [197] и учетверепия, а также другие серии бифуркаций, отвечающие другим вложенным структурам. [c.177] В заключение на рис. 7.11 наглядно представлена вложенная структура для отображения прямой в прямую при т = 2 — бифуркация удвоения кратности неподвижной точки. На рис. 7.11 изображены графики отображения Т и Т . График отображения Т в квадрате Ох подобен графику отображения в квадрате О . Однократная неподвижная точка Ха отображения соответствует однократной точке Х1 отображения Т, но для отображения Т точка Х2 является двукратной неподвижной точкой. [c.177] Таким образом, по мере удаления от границы Ъ области В возникающие неподвижные точки отображения Т Ь претерпевают бифуркации, после которых они становятся однотипными. При этом ни одна из возникающих точек не может исчезнуть, и не могут появиться новые однократные неподвижные точки, поскольку якобиан отображения Т Ь обращается в пуль только на кривой Ь. Это достаточная подсказка для того, чтобы понять, что происходит с одной из родивпшхся простых неподвижных точек опа меняет свой тип и отделяет от себя двукратную неподвижную точку того же типа. [c.179] Его график представлен на рис. 7.14. С уменьшением е парабола графика отображения спускается вниз. При е = е возникает критическая неподвижная точка, которая затем разбивается на две неподвижных точки У1 и Уг. Сначала одна из иих устойчива, а другая — неустойчива. Неустойчивая и при дальнейшем убывании параметра е остается неустойчивой, а устойчивая точка становится неустойчивой, претерпевая бифуркацию, соответствующую границе Л -,. При этой последней бифуркации рождается двукратная устойчивая точка, с которой происходит такая же бифуркация и т. д., пока устойчивая точка не исчезнет и не останутся в бесконечном числе одни неустойчивые точки. [c.181] Выще были рассмотрены только серии бифуркаций неподвижных точек отображения Т Ь при всевозможных т т. [c.181] Применяя теорему, сформулированную в гл. 6, приходим к следующему выводу. [c.182] Необходимо иметь в виду, что в этой последовательности каждое из ото бражений Ь можно трактовать либо как сужение Ьг, отвечающее одной однозначной ветви двузначного вспомогательного отображения Е, либо кай сужение отвечающее другой однозначной ветви вспомогательного отображения. При больших положительных е ни одно из условий (2.35) при га, т N выполняться не может. Напротив, при больших отрицательных в всевозможных последовательностей вида (2.38) появляется бесконечное континуальное множество. [c.183] Эти неравенства обеспечивают седловорг характер последовательностей отображений вида (2.38). С уменьшением е они обязательно вьшолняются, если рапее были выполнены неравенства (2.35). [c.183] Все сказанное описывает бифуркации только в одной из окрестностей гомоклинической структуры, а таких окрестностей в гомоклинической структуре может быть очень много. Сколько-нибудь полное рассмотрение этого вопроса достаточно запутано и сложно, поэтому мы ограничимся сделанным замечанием. [c.184] Как уже говорилось, дифференциальные уравпепия Лоренца возникли как трехмодовое дискретное приближение в задаче о тепловой конвекции между горизонтальными плоскостями. В гл. 1 было показано, что уравнения Лорбпца с параметром Ъ — 1 являются основными в описании конвективной циркуляции жидкости в замкнутом круговом контуре. Наличие в них непериодических установившихся движений было установлено в 1963 г., но достаточно полное исследование было выполнено только в 1976—78 гг. сразу в нескольких работах [46, 68, 69, 276—278, 280, 539, 551, 552, 679], среди которых можно выделить два направления одно, идущее от подковы Смейла , и второе — от гомоклинических структур А. Пуанкаре. [c.184] Перейдем к непосредственному исследованию системы Лоренца (3.1), разбив его на пункты. [c.184] 4) следует, что при г 1 имеет место состояние равповесия типа О , а при г 1 — типа т. е. соответственно устойчивый узел и седлоузел, а бифуркация происходит при переходе через границу N . [c.185] Для того чтобы понять, откуда взялись перио ические движения Г, и Гг, будем уменьшать параметр г от бифуркационного значения г = 24,74 и численно прослеживать периодические движения Г, и Гг. При г = 13,92 периодические движения Г, и Гг превращаются в петли инвариантных кривых и 82 седлового состояния равповесия (рис. 7.15). [c.186] Вернуться к основной статье