ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее описание дерева возможных бифуркаций из "Стохастические и хаотические колебания " Пусть вначале имеется устойчивое состояние равновесия 0 . [c.164] если -в результате описанных бифуркаций вновь возникает устойчивое состояние равновесия, то с ним, естественно, мо1 ут произойти опять только такие же бифуркации. Поэтому далее описываются только бифуркации устойчивого периодического движепия Г . [c.164] Эти бифуркации отвечают переходам в пространстве параметров через бифуркационные поверхности N-1 и ТУ,, с значениями ф, отличными от О, я, 2я/3 и я/2. Значения ф = О и ф = я отвечают бифуркациоп-ным поверхностям Л +1 и УУ-,. [c.165] Значения ф = 2я/3 и Ф = я/2 отвечают особым резонансным случаям потери устойчивости исходным периодическим движением Г - . [c.165] Потеря устойчивости периодическим движением или его исчезновение вызывают смепу установившегося движения. Смена установившегося движения может быть мягкой или жесткой. При мягкой смене установившегося движепия вместе с плавным изменением параметров происходит и плавная и постепенная смена установившегося движения. При жесткой смене установившегося движения, напротив, несмотря на плавное изменение параметров, смена установившегося движепия происходит скачком. [c.166] Участки бифуркационных границ, отвечающих мягкой смене установившегося движения, можпо называть безопасными, а отвечающие жесткой смене — опасными. Понятие мягкого и жесткого возникновения автоколебаний было введено А. А. Андроновым. Понятие опасных и безопасных границ было введено П. П. Баутиным [72, 73] для границ областей устойчивости состояпия равновесия. Дальнейшее обобщение этих понятий на периодические движения связано с работой [259], на основе которой можно дать общее определение и описать общую картину мягкой и жесткой смены установившегося движения. [c.166] Перейдем к описанию бифуркаций устойчивого двумерного тора Бифуркации устойчивого двумерного тора можно разделить на собственно бифуркации тора как инвариантного устойчивого многообразия, на бифуркации фазового портрета на торе и, наконец, бифуркации отдельных периодических движений lia торе. Если размерность фазового пространства, в котором находится двумерный устойчивый тор, больше трех, то возможны его бифуркации (так же, как и периодического движения) типов N-i и N . В трехмерном фазовом пространстве возможны только бифуркации N+,. При бифуркации 7V+, устойчивый тор Г сливается с седловым и исчезает. При бифуркации N-1 устойчивый тор удваивается , и одновременно от него отделяется седловой тор При бифуркации устойчивый тор Т переходит в неустойчивый и одновременно от пего отделяется трехмерный устойчивый тор или устойчивый тор Т становясь неустойчивым, сливается с трехмерным седловым тором. [c.167] Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167] Вернуться к основной статье