ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации и пути возникновения хаоса и стохастичности из "Стохастические и хаотические колебания " Дальнейшее имеет целью развитие этих простых соображений и их приложение к вопросам возникновения хаотических и стохастических движений и аттракторов как их геометрических образов в фазовом пространстве. [c.127] Знак II II, как обычно, обозначает норму. Это может быть евклидова норма или норма по максимальному модулю одной из компонент. [c.128] Доказательство этого утверждения содержится в [269]. Мы будем л1ногократно пользоваться теоремой о существовании вспомогательного отображения Т у отображения вида (1.20). Важно, что такое отображение Т существует и является сжимающим в достаточно малой окрестности точки и = О, у = О, если только отображение Т седловое, что отражается условиями (1.21). Выполнение всех остальных условий (1.22) и (1.23) обеспечивается достаточной малостью окрестности этой точки. [c.129] Неподвижные точки отображения Т, отвечающие неподвижным точкам однозначных ветвей вспомогательного отображения, заведомо будут разными, если образы областей определепия зтих ветвей не пересекаются. Напротив, если вспомогательные отображения Т не имеют неподвижных точек, например области определения отдельных однозначных ветвей не пересекаются со своими образами, то и у, отображения Т их пет. [c.130] В случае сжимаемости вспомогательного отображения утверждение о неподвижных точках допускает уточнение, состоящее в утверждении пе только существования или несуществования, но и в случае существования — единственности. В дальнейшем сформулированные выше утверждения о вспомогательных отображениях и о связи неподвижных точек вспомогательных отображений с неподвижными точками исходных отображений будут применяться в различных конкретных ситуациях. Ниже формулируются теоремы для двух, в некотором смысле, крайних случаев. [c.130] При этом если вспомогательные отображения Tab, Tb , Тса (по крайней мере, два из них) многозначные, то наряду с различными седловыми периодическими движениями требуемым поведением будут обладать и многие непериодические движения (континуум таких движений). [c.132] Аналогичный вопрос можно поставить не только для периодически повторяющегося перемещения фазовой точки, но и для перемещений ее по любой последовательности областей. [c.132] Подводя итог сказанному, сформулируем теорему. [c.133] Теорема 6.3. Неподвижным точкам отображения Г, определенного в области С, отвечает последовательность вида (1.28), для которой имеют место соотношения (1.29). [c.133] Отображение Т существует, определено в области О и преобразует ее в себя, если то же имеет место в отношении всех отображений Т,. Отображение Т сжимающее, если все отображения Т, сжимающие. [c.133] Появление более чем одной неподвижной точки у отображения Т означает появление более чем одной последовательности (1.28), удовлетворяющей условиям (1.29). Зафиксируем сказанное в виде теоремы. [c.134] Эта теорема по о.бщносги своей формулировки в отношении существования требуемой неподвижной точки или последовательности охватывает все сказанное ранее. Однако она не содержит утверждений, позволяющих устанавливать отсутствие тех или иных неподвижных точек или последовательностей. Вместе с тем, как уже отмечалось, имеется и такая возможность. Именно, если хотя бы одно из вспомогательных отображений Т отображения Tsj i входящего в последовательность (1.36), преобразует область G, не в область G , а в область Ks , не пересекающуюся с областью Gs, то требуемая последовательность точек (1.37), удовлетворяющая соотношениям (1.38), не существует. [c.134] Справедливо и обратное утверждение, т. е. любой последовательности (1.44) точек, связанных соотношениями (1.45), отвечает единственная последовательность вспомогательных отображений (1.43). Это дает полное описание всех фазовых траекторий точечного отображения Т — как периодических, так и непериодических. Приведенное описание выдержано в духе так называемой символической динамики. [c.136] Пусть Ui, аг,. ..— любое, в том числе и счетное, множество периодов. Тогда нетрудно указать последовательности, отвечающие фазовым траекториям, которые приближаются сколь угодно близко к любой из периодических траекторий этого множества. Можно показать, что почти все фазовые траектории всюду плотны. [c.136] Можно подумать, что все это стройное множество движений очень хрупко и отвечает только линейному отображению (1.39). Но это не 1 ак. В действительности перед нами очень прочное образование, и никаким малым и даже не очень малым возмущениям отображения (1.39) его не разрушить. Это непосредственно следует из того, что при таких возмущениях не нарушается сжимаемость вспомогательных отображений Ti и Тг, следствием которой является вся сложная структура фазового портрета. [c.136] Таково описание негатива. Что, собственно, можно извлечь из него Преобразований каких-нибудь областей в себя не видно, сжимаемости нет. Разобраться в этой ситуации не просто. [c.137] Перейдем от негатива к позитиву. Для большей наглядности в этом переходе изобразим отдельно отобра-Ж ия областей Л в Л, и В в В (рис. 6.7). Отображение, переводящее А в А , — это Г отображение, преобразующее В в В,— это Г , обозначим его через Ь (ттг фиксировано). На рис. 6.7 точки а, Ь, О, с области А переходят в точки а, Ъ, О, с области Я , а точки й, е, /, области В — в точки d, ё, /, области Е. Координаты и ш V выбраны так, как показано на рис. 6.7 (вдоль спрямленных кривых и 8 рис. 6.6). [c.137] Вот к какому выводу приводит принцип сжимаемости отображений для позитива в окрестности точки М существует бесконечное множество многократных неподвижных точек отображения Т, причем, начиная с некоторой кратности т пъ (здесь т + т заменено на тп ), они седловые и для каждого т такая седловая многократная точка единственная. [c.138] Вернуться к основной статье