ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации периодических движений из "Стохастические и хаотические колебания " Тип неподвижной точки по его определению может измениться только при переходе одним из корней Aj, Я2,. .Яп единичной окружности, поэтому бифуркационными могут быть только те значения параметра ц = ц, для которых имеется корень, лежащий на единичной окружности. В соответствии с зтим основными простейшими бифуркационными поверхностями являются поверхности N+i, N-i и N,f, отвечающие соответственно одному корню, равному +1 или —1, и двум комплексно сопряженным корням е . [c.110] Теорема 5.4. Точка ц е М является бифуркационной точкой в том и только в том случае, когда уравнение (3.4) имеет корень, лежащий на единичной окружности, т. е. если точка ц лежит на одной из поверхностей iV+i, iV i или N . [c.110] Уравнение последней поверхности задается в параметрическом виде. Все поверхности N+i, N- и iV,, — коразмерности единица. [c.110] Все сказанное до сих пор аналогично тому, что имело место для состояния равновесия бифуркационные поверхности Л +i и N4, неподвижной точки аналогичны бифуркационным поверхностям No и Na состояния равновесия, а бифуркационная поверхность N-1 является новой. Однако возможные бифуркации периодического движения этим не исчерпываются. Бифуркация периодического движения Г возможна еще за счет его исчезновения, происходящего по трем сценариям Г теряет замкнутость, уходя в бесконечность, на Г появляется состояние равновесия, Г стягивается в точку. Других возможностей нет, точнее, нет других возможностей прекращения существования периодического движения Г, не сопряженных с переходами через поверхности iV+i, N i и Л ф. Рассмотрим каждый из трех сценариев в отдельности. [c.110] Бифуркацию с уходом Г в бесконечность можно трактовать как уход при изменении параметра ц некоторой точки Г в бесконечность. [c.110] При непрерывном изменении параметра ц и стягивании замкнутой кривой Г в точку эта точка должна быть состоянием равновесия, причем состоянием равновесия бифуркационным. Бифуркации состояний равновесия рассмотрены, и среди них имеется бифуркация состояния равновесия, при которой с ним сливается замкнутая фазовая кривая. [c.111] Коразмерность этих бифуркационных линий равна двум. Наглядное схематическое изображение бифуркационных поверхностей N+1, N-1, Мг /з и приведено на рис. 5.10. Отметим, что иа аналогичном рисунке для состояния равновесия есть только поверхности Мо и Мш (рис. 5.11). [c.112] Соответствующие возможные диаграммы точечного отображения представлены на рис. 5.12. [c.112] Полагая ради определенности iZ A,(v) l/iZvlv=o 0, приходим к бифуркационным диаграммам рис. 5.13, а, где кружочки обозначают устойчивость, а крестики — неустойчивость. [c.113] Таким образом, при переходе через бифуркационную поверхность Л ф в направлении образования двух новых корней характеристического уравнения (3.4), по модулю больших единицы, имеет место теорема [58, 260, 265, 629]. [c.113] Теорема 5.5. Периодическое движение Г переходит в рр-1,9+3 Одновременно с этим, в зависимости от знака Кеа(0)т 0, либо с ним сливается тороидальное инвариантное многообразие Т либо от него отделяется инвариантное тороидальное многообразие ГР+ - +2 (рис. 5.13, б). [c.114] При переходе через границу Л +, в момент бифуркации ц, = ц, точечное отображение имеет вид (4.6), и его рассмотрение приводит к результатам, полностью аналогичным тем, которые имели место при исследовании бифуркации состояния равновесия с переходом границы N0. Справедлива следующая теорема [259]. [c.114] Теорема 5.6. При переходе через границу в основном случае а ФО ъ (4.6) происходит либо слияние неподвижных точек О 1 и 0 и их исчезновение, либо рождение такой пары неподвижных точек. [c.114] Для периодического движения соответ ственно выполняется следующая теорема. [c.114] Теорема 5,6. При переходе через границу Л +, в основном случае а Ф ) происходит либо слияние периодических движений 1 р+1,9+1 и рр, 9+2 р последующим их исчезновением, либо их одновременное рождение. [c.114] Случай 2 = 0, азФ при ц, = ц, аналогичен тому, который имел место для состояний равновесия. Отметим, что особый случай 2 = 0, йз О может стать основным при наличии у рассматриваемой системы симметрии. Именно поэтому для него сделано исключение, и он рассматривается наряду с общим случаем. [c.114] Точка является неподвижной и для исходного отображения (4.17), а неподвижные точки Юг и юз отвечают циклу двукратных неподвижных точек. Примем, что 1 (0) О и что возрастание V соответствует переходу корня через —1с убыванием так что а 0. Тогда в зависимости от знака аз(0) возможны следующие случаи, описываемые теоремами 5.7 и 5.7. [c.115] Соответствующие бифуркационные диаграммы для точечного отображения (4.17) изображены на рис. 5.14. Последовательная смена фазовых портретов в трехмерном случае при = 2, д = 0 и а 1 (0) 0, аз(0) О изображена на рис. 5.15 и 5.16. [c.115] В заключение этого параграфа подытожим утверждения установленных в нем теорем, в таблице бифуркаций неподвижных точек и периодических движений (см. табл. 2). Смысл формул бифуркаций и данных ее столбцов аналогичен тому, что было в приводимой ранее таблице бифуркаций состояний равновесия. [c.119] Вернуться к основной статье