ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации состояний равновесия из "Стохастические и хаотические колебания " Основным элементом такого исследования является прослеживание фазового портрета и его изменений при непрерывном изменении параметра р. вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. Оказывается, что при прохождении некоторых точек на этой кривой происходит качественная перестройка фазового портрета. Такие точки получили название точек бифуркации фазового портрета, а отвечающие им значения параметров — бифуркационных значений параметров. Через одну и ту же точку пространства параметров может проходить много различных кривых и заранее ниоткуда не следует, что изменение фазового портрета не зависит от кривой, по которой меняются параметры. Значит, понятие бифуркации зависит еще и от пространства параметров, т. е. можно обнаружить, расширяя его, новые бифуркации, сужая — какие-то бифуркации потерять. Выяснение того, с каким именно случаем мы имеем дело при исследовании той или иной динамической системы, требует уточнений. [c.99] Бифуркации можно рассматривать в пространстве всех динамических систем или какого-нибудь класса динамических систем, например второго порядка с полиномиальными правыми частями или описываемые уравнениями Гамильтона и т. д. [c.99] Приведенные нами простые примеры позволяют дать общее определение представимости бифуркаций с помощью г параметров Ць Цг, , Цг. Именно, в окрестности бифуркационной точки ц пространства параметров или динамических систем М имеет место представимость с помощью г параметров, если в этой окрестности возможен такой выбор г переменных, что каждый пэ типов фазовых портретов соответствует одной или нескольким комбинациям знаков этих параметров. [c.101] Теперь можно определить представимость бифуркаций не только в окрестности трчки бифуркации, но и в некоторой области М пространства М. Бифуркации в области М представимы с помощью параметров Hi, Цг,. .Цг, если существует конечное или бесконечное множество кусочно-гладких функций /i(ni, Цг, Цг), /2( 1,. .., fir),. .. такое, что в любых двух точках области М, отвечающих разным типам динамических систем (их фазовых портретов), по крайней мере у одной из функций /i, /2,. .. разные знаки. Подчеркнем, что фазовый портрет динамической системы и его разные типы могут рассматриваться глобально во всем фазовом пространстве или локально только в некоторой его части, например в малой окрестности состояния равновесия. [c.101] Теперь мы уже располагаем всем необходимым, чтобы дать определение изолированной точки бифуркации ц. Точка fi соответствует изолированной бифуркации, если в достаточно малой ее окрестности может обращаться в нуль не более чем конечное число функций fi, /2,. .. и в этой окрестности существует не более чем конечное число связных компонент различных типов динамических систем. В противном случае точка неизолированная и является точкой сгущения бесконечного числа областей, отвечающих различным типам фазовых портретов. Это сгущение вокруг точки бифуркации ц может носить односторонний или многосторонний характер. [c.101] Вернемся к дифференциальному уравнению (2.1) и его состояниям равновесия. Пусть 0 х х )—одно из его состояний равновесия и Я1, ki,. .— корни его характеристического уравнения. Пусть М — пространство всевозможных гладких функций Х х) и ц — точка в пространстве М, отвечающая рассматриваемой системе (2.1),. [c.102] Теорема 5.1. Точка и не является точкой бифуркации состояния равновесия О, если на мнимой оси нет корней Я1, кг,. , Я . [c.102] При всех ц, достаточно близких к ц, состояние равновесия не меняет своего типа, т. е. не меняет размерностей своих интегральных многообразий 5 и и чисел и 5, и поэтому все время остается типа 0 . [c.102] Это соответствует графикам зависимости координаты ю состояния равновесия от параметра V, изображенным на рис. 5.5, а. [c.103] Для того чтобы эти графики стали бифуркационными диаграммами, на ветвях этих кривых следует указать еще типы соответствующих им состояний равновесий. Из уравнения (2.7) путем подстановки в него найденных значений ю находим все возможные варианты существенно разных бифуркационных диаграмм, изображенные на рис. 5.5, б. [c.104] В соответствии с изложенным имеет место следующая теорема. [c.104] Теорема 5.2. В случаях (2.9) с точностью до направления осей г и V имеют место бифуркационные диаграммы, представленные на рис. 5.6, где значения ю как функции параметра V определяются соответственно формулами (2.10) или (2.11). [c.104] На рис. 5.6 представлены изменения трехмерного фазового портрета для первой и второй рассмотренных бифуркаций в предположении, что исходное состояние равновесия при V О устойчивое, т. е. типа О - . [c.104] Пусть о (0)=7 0 и направление измерения V выбрано так, что о (0) 0, тогда при ё (0)=5 0 согласно изложенному возможны только два следующих случая. [c.106] Смысл чисел р и д в записи периодического движения аналогичен их смыслу при записи состояния равновесия и будет уточнен в следующем параграфе. [c.106] Фазовый портрет в случае рождения устойчивого периодического движения Г показан на рис. 5.8. [c.107] Фактическое вычисление величины g для двумерных и трехмерных систем выполнено в работах [72, 73] и для многомерных на основе [259, 260] — в [351]. [c.107] В заключение этого параграфа сведем полученные сведения о бифуркациях состояний равновесия в таблицу 1. [c.107] Вернуться к основной статье