ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Настоящая ли стохастичность у стохастических и хаотических движений детерминированных диламических систем из "Стохастические и хаотические колебания " Генератор стохастичности качественно отличается как, от преобразователя стохастичности, так и от усилителя стохастичности. Он похож на идеальный усилитель тем, что случайность его выхода не исчезает по мере уменьшения и исчезновения случайной составляющей входа, и отличен от него тем, что стохастические характеристики его выхода пренебрежимо мало зависят от достаточно малых случайных входных воздействий и целиком определяются динамическими свойствами системы. В пределе при стремлении случайных воздействий к нулю случайность выхода не исчезает и вне зависимости от статистических характеристик входа стремится к одному и тому же стохастическому выходу, статистическое описание которого может быть найдено по описанию динамической системы. [c.68] Мы уже говорили о том, что размерность три — наименьшая из тех, при которых динамическая система может иметь хаотические движения, а осциллятор с демпфирующими ударами двумерен и, тем не менее, может совершать хаотические колебания. [c.71] В этом нет противоречия, так как утверждение о том, что три — наименьшая размерность, относилось к гладким динамическим системам, а у движений осциллятора с ударами возможны скачки фазовой точки. Вместе с тем заметим, что эти скачки можно убрать, если сделать на плоскости х, х разрез по полупрямой а = О, ж а и затем левый берег этого разреза склеить вдоль полупрямой х = 0, х а — р с правым берегом разреза. По такой фазовой плоскости с разрезом и отождествлением (склейкой) берегов разреза фазовая точка будет двигаться без скачков, но фазовое пространство, хотя оно и двумерно, не является более плоскостью и этого оказывается достаточно для того, чтобы стали возможны хаотические движения. [c.71] Обратим внимание на характер перехода от хаотических движений к движениям, уходящим в бесконечность. Если точка М графика рис. 3.14 лежит выше точки N, то имеют место только движения с неограниченной раскачкой. При обратном соотношении происходят как движения с неограниченной раскачкой, так и хаотические ограниченные колебания. Однако если точка М лежит чуть-чуть выше точки N, то в течение очень долгого времени возможны хаотические ограниченные колебания, которые внезапно, в непредсказуемый момент времени переходят в нарастающие колебания. [c.71] Приведенные примеры можно продолжить им полностью посвящена последняя глава. А сейчас постараемся дать общий ответ, в чем причина стохастического поведения рассмотренных систем, каковы основные общие условия его возникновения. Как уже отмечалось, при устойчивости генерация стохастичности невозможна. Это обусловлено тем, что при устойчивости установившимися движениями могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. В этих случаях даже при случайности начального условия в дальнейшем со временем случайность исчезает, так как плотность вероятностей в пределе при оо обращается в нуль всюду вне состояния равновесия или вне замкнутой кривой, отвечающей периодическому движению. В случае периодического движения некоторый след от случайности начального условия все же остается в виде случайности фазы периодических колебаний. Но при этом вероятностное описание этой фазы зависит от распределения вероятностей начального условия и им определяется. Таким образом, для генерации стохастичности необходима локальная неустойчивость при общей ограниченности движений, лри некотором глобальном сжатии или, во всяком случае, отсутствии расширения. [c.73] По каким-то направлениям согласно линеаризованным уравнениям происходят сжатия и по каким-то другим — растяжения. [c.74] Рассмотренное выше преобразование (3.7) является простейшим примером, в котором осуществляется такая бесконечная последовательность преобразований в окрестностях седловых неподвижных точек и Оа. Дальнейшее описание гомоклинических структур и их роли в образовании хаотических движений содержится в гл. 4 и 6, а в гл. 7 и 9 приводятся разнообразные примеры их проявления. [c.75] Для динамических систем размерности, большей трех, отображение (1.1) гл. 2 дает другой пример неограниченного вытягивания и укладки. Характерной его особенностью является укладка без складываний, которая требует для точечного отображения размерности не меньше трех, а для соответствующей динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями,— не меньше четырех. Уже этот факт говорит о возможностл существенного отличия четырехмерных систем от трехмерных, а не только трехмерных от двумерных. Насколько реально такое различие, в настоящее время сказать трудно в силу очень малой изученности четырехмерных систем. Отметим тут же, что в четырехмерных системах, как будет видно из дальнейшего, возможны бифуркации, которых нет в трехмерных систе1мах. Весьма правдоподобно, что отличие четырехмерных систем от трехмерных скорее всего окажется весьма значительным. [c.76] Для значений времен порядка е изменение х носит детерминированный характер но в масштабе времен изменения у изменение X случайное. Можно предположить, например, что оно случайно уже на временах порядка Уе. Если это так, то во втором уравнении системы (3.11) х можно считать случайной величиной с очень маленьким временем корреляции типа белого шума, и тогда у — случайный марковский процесс, а компоненты у — это случайные немарковские процессы. Это имеет место, если система относительно у — преобразователь стохастичности. Но она может быть и генератором стохастичности, и тогда ее стохастичность другого типа, характеризуемая тем, что плотность вероятности смены состояния является б-фзгакцией. Подчеркнем, что эта плотность вероятности является б-функцией в масштабе временных изменений переменных у лри малых воздействиях х. [c.78] Какой же ответ предлагается на поставленный в этом параграфе вопрос Стохастические и хаотические движения детерминированных динамических систем — это и есть подлинная случайность окружающего нас мира. В этом новом аспекте ее изучение только начинается, и этим началом мы обязаны открытию стохастических и хаотйческих движений детерминированных динамических систем. [c.78] Вернуться к основной статье