ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Порядок и хаос — устойчивость и неустойчивость из "Стохастические и хаотические колебания " Как уже говорилось, в настоящей главе речь пойдет об общих характеристиках движений дискретных и распределенных динамических систем, которые можно классифицировать как порядок и хаос. Порядок во временном изменении — это уравновешенность взаимодействия, приводящая к устойчивому равновесию, синхронность движений отдельных частей системы, влекущая за собой периодическое движение всей системы в целом. Хаос во временном изменении — это отсутствие регулярности, нерегулярность, непредсказуемость и случайность. Пространственные проявления порядка — это пространственная регуляр- ность и сог.г асованность. Пространственный хаос — это отсутствие пространственной регулярности и рассогласованность. [c.42] Изменения в окружающем нас мире естественно делятся на эти два класса. Смена дня и ночи образует регулярный временной ряд, в первом приближении периодический, но при более внимательном рассмотрении — квазипериодический (двухпериодический), отражающий вращения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Волны на гладкой спокойной воде от брошенного камня дают пример пространственно-временной регулярности. Морские волны в сильный ветер или во время зыби могут служить примером хаоса, но иногда морские волны идут правильными рядами друг за другом. Дни и ночи, лето и зима чередуются периодически, а погода меняется весьма прихотливо, трудно предсказуемо, хотя и у погоды есть какие-то регулярные составляющие, поскольку зимой не бывает +30°С, а летом--30°С. [c.42] Еще совсем недавно такого рода довод, опирающийся на теорему Коши о единственности решений дифференциальных уравнений, считался неотразимым и, казалось бы, исключал всякую мысль о возможности случайных движений у детерминированных динамических систем. Случайность, во всяком случае, в рамках классических представлений, мыслилась чем-то привносимым извне. Стохастические движепия детерминированных систем рассматривались только как результат случайных воздействий извне. И только в вопросах о природе стохастичности движений молекул газа и вообще в вопросах статистической механики и физики допускалась уступка, поскольку случайность была налицо. Это несоответствие со временем стало привычным и списывалось на громадные числа молекул, где все очень сложно. [c.42] Каково же было удивление, когда и в простых системах неопровержимо обнаруживалась непредсказуемость, хаотичность и стохастичность. [c.42] события, которые привели к прозрению , будут описаны подробнее, а сейчас мы только отметим и поясним решающую роль в этом теории колебаний. [c.43] Далеко не все воспринимают теорию колебаний как науку переднего края. Ее огромные успехи и влияние на формирование принципа суперпозиции, спектрального подхода и линейно теории, открытие и изучение автоколебаний, а сейчас — стохастических колебаний нередко обезличиваются , утрачивают непосредственную связь с теорией колебаний, быстро становясь общим достоянием. Наша книга — прежде всего о последних достижениях теории колебаний, меняющих наши фундаментальные естественно-научные представления, об открытии и исследовании хаотических движений детерминированных автономных динамических систем, о возможности генерации такими системами стохастических колебаний, о новом, более широком взгляде на возможные движения динамической системы, о наличии двух противоположных тенденций в эволюционировании динамической системы — стремлении к порядку и стремлении к хаосу. [c.43] Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43] Однако роль неустойчивых движений в действительности значительно шире. Оказалось (и это было неожиданностью), что именно неустойчивые движения порождают турбулентность и сложные хаотические и стохастические движения динамических систем. Тем самым два основных вида, две основные тенденции эволюционирования — синхронизация (включая равновесие) и стохастичность — представляют собой пе что иное, как проявления устойчивости и неустойчивости. [c.44] Несмотря па сложность и необычность такого образования, получившего название странного аттрактор , условия его возникновения очень просты сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью. Конечно, остается неясным, возможно ли такое сочетание, но если оно возможно, то неизбеншо влечет за собой существование странного аттрактора. [c.44] Первая возможность приводит к устойчивым состояниям равновесия и устойчивым периодическим движениям, вторая — к стохастическим движениям, первая к порядку, вторая — к хаосу. Таким образом, две осповные, повсеместно наблюдаемые тенденции в эволюционировании — порядок и хаос, соответствуют двум общим возможностям 1говедения фазовых траекторий с одной стороны, общему сжатию и локальной устойчивости и общему сжатию и локальной неустойчивости — с другой стороны. [c.45] Под общим сжатием понимается, что некоторая область фазового пространства переходит внутрь себя, т. е. спустя некоторое время нреобразеутся в область С =С. [c.45] Под локальной неустойчивостью понимается разбегание очень близких вначале фазовых траекторий такое, что в любой сколь угодно малой близости от невозмущенной траектории У есть возмущенные траектории, которые со временем будут отходить от нее на расстояние, большее некоторого е 0. После того как такая близкая фазовая траектория у выйдет из е-окрестпости 7, она может снова в нее войти, но затем в общем случае обязательно снова выйдет и т. д. [c.45] Приведем простые примеры первого и второго типов поведения. На рпс. 2.2 изображен фазовый портрет, где глобальное сжатие сочетается с локальной устойчивостью. При этом по только область С переходит в лежащую в пей область С, но и любая малая область д переходит в еще меньшую область Таким примером может служить и система с фазовым портретом па рис. 2.1. [c.45] Отображение Т взаимно однозначное, но на инвариантном множестве I отображение переменной ф не взаимно однозначное. В приведенном примере отображение Т трехмерное. Его легко обобщить на случай большей размерности, но построить аналогичные примеры с сохранением взаимной однозначности для меньшей размерности нельзя. [c.48] Отображение (1.1) — это простой пример взаимно однозначного глобально сжимающего и локально неустойчивого отображения. Его последовательные итерации образуют в общем случае хаотическую последовательность. Предельное множество этих последовательностей образует некоторое инвариаптное множество Л С какой бы точностью ни была задана начальная точка х, у, ф, ое достаточно далекие последовательные образы пе могут быть найдены, так как с последовательными преобразованиями происходит неограниченное и быстрое экспоненциальное нарастание ошибки. В этом смысле достаточно далекие преобразования непредсказуемы. Так, при первоначальной точности порядка 10 уже начиная с 20-го преобразования ошибка, вообще, порядка единицы. [c.48] Этот пример трехмерного точечного отображения может быть легко трансформирован в пример динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, но с четырехмерным фазовым пространством. Для такой системы дифференциальных уравнений точечное отображение Т будет отображением Пуанкаре на секущей трехмерной плоскости. [c.48] Нечто аналогичное приведенному абстрактному примеру может происходить и в конкретных системах. Так, в фазовом пространстве уравнений Лоренца (1.24) при 6 = 8/3, 0 = 10, г =24,4 последовательные точки пересечения фазовых траекторий с секущей плоскостью z=r l приходят в очень малую окрестность некоторой кривой / и остаются в ной, порождая тем самым отображепие кривой 7 в себя. Если вдоль этой кривой ввести переменную и, то это отображение имеет такой вид, как показано на рис. 2.8. Оно всюду растягиваюп1ее, причем типичные последовательные Рис. 2.8 значения и являются хаотическими. [c.48] Более подробно о системе Лорепца и ее странном аттракторе будет рассказано в 4 гл. 7. [c.48] Несколько другая ситуация, но также приводящая к хаотическим движениям, может иметь место на секущей плоскости системы, приведенной в предыдущей главе. [c.48] Вернуться к основной статье