ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение поля перемещений по линейному тензору деформации Условия сплошности из "Прикладная механика деформируемого твердого тела " Пусть во всех точках внутри области й задано поле тензора деформаций е у, причем функции в,у непрерывны и дважды непрерывно дифференцируемы Требуется определить поле перемещений и = и х , х ). [c.12] Поставленная задача не имеет единственного решения, В самом деле, если каким-либо способом найдены смещения, соответствующие данным компонентам деформации, то, присоединив произвольное (бесконечно малое) смещение всего тела как жесткого целого, получим другие значения смещений, соответствующие тем же самым компонентам деформации. Чтобы сделать задачу определенной, зададим смещения ы произвольно выбранной точки Мо(х х1, тела, а также компоненты вращения о) ,-в этой точке. [c.12] Для разрешимости этой системы необходимо подчинить е,-у некоторым дополнительным условиям эти условия будут получены после решения поставленной задачи. [c.12] Формула (1.60) впервые установлена Е. Чезаро. [c.13] Формула (1.64) получена из (1.63) при i = r Фк , а формула (1.65) —при фг Фк = k = s (напомним, что по полужирным индексам суммирования нет). [c.14] Пусть теперь область Q многосвязна, т. е. в ней существуют контуры, которые нельзя непрерывным образом стянуть в точку (например, тор). Многосвязное тело можно превратить в односвязное, мысленно проводя надлежащие разрезы. [c.14] Условия совместности Сен-Венана обеспечивают сплошность полученного таким способом односвязного тела. Но если приближаться к разрезу с двух различных сторон, то компоненты перемещения по (1.60) будут получаться различными. Пусть й+ и М —значения вектора и, полученные при приближении к некоторой точке разреза с той или другой стороны. Условие неразрывности деформаций для тела в целом будет выполнено только в том случае, если наряду с условиями совместности соблюдены дополнительные требования = и вдоль всех разрезов, мысленно проведенных в теле с целью сделать его односвязным. [c.14] Замечание. В настоящее время интенсивно развивается так называемая теория дислокаций, в которой выполнение условий совместности не имеет места. Возможные случаи невыполнения условий совместности были впервые рассмотрены Вольтерра, который разработал теорию внутренних напряжений, образующихся в результате вырезания и выбрасывания части упругого тела и последующего соединения краев разреза. Вообще говоря, при такой операции возникают сингулярности, в которых поле напряжений возрастает до бесконечности. Вольтерра показал, что для образования непрерывных однозначных полей напряжений без сингулярностей должны быть выполнены два условия а) разрез должен пересекать рукав многосвязного тела б) края разреза должны быть жестко смещены друг относительно друга (на постоянный вектор смещения плюс вектор поворота). [c.14] Состояния внутреннего напряжения, образованные таким способом, называются дислокациями Вольтерры и характеризуются тем, что интеграл ф da по замкнутому контуру имеет конечное приращение Ь вектор Ь называется вектором Бюргерса. [c.14] В качестве примера рассмотрим толстостенный цилиндр с разрезом, образованным полуплоскостью, проходящей через его ось. Если в разрез вставлен клин или края разреза смещены друг относительно друга в радиальном направлении, то имеем так называемую краевую дислокацию-, если же края разреза смещены в направлении оси цилиндра, то соответствующая дислокация называется винтовой. [c.14] Движение любой сплошной среды происходит вследствие того, что на частицы среды оказывают воздействие внешние, по отношению к изучаемой сплошной среде, материальные объекты. По определению, внешние силы есть количественная мера воздействия внешних объектов на частицы сплошной среды. Кроме внешних сил в механике сплошных сред вводятся в рассмотрение внутренние силы, характеризуюш,ие взаимное воздействие частиц, составляюш,их сплошную среду. Теоретическая механика внутренние силы не учитывает, так как они не дают вклада в работу в механике же сплошной среды определение внутренних сил представляет собой одну из основных задач. [c.15] Обозначим через Fm главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы Ат. [c.16] В качестве примера массовых сил можно указать на силы тяжести, плотность которых g обычно считается постоянной величиной. Массовыми силами являются также силы инерции с плотностью, равной ускорению Av/At рассматриваемой частицы, и силы электромагнитного взаимодействия. [c.16] В предположении, что он существует и не зависит от стремления А5л- к нулю. [c.16] Примером распределенных поверхностных сил является давление жидкости на стенки сосуда, давление сжатого газа на стенки баллона, давление шины автомобиля на дорожное покрытие и т. д. [c.16] Понятие сосредоточенной силы является идеализацией, полезной при решении ряда задач механики сплошной среды. [c.17] Величина t M, v) называется вектором напряжения в точке М, действующим на площадке, нормальной к вектору v. Скалярное произведение (v, t M, у)) = /л называется нормальным напряжением, действующим на этой площадке. Если положительно, то в точке М по направлению v материал подвергается растяжению, если отрицательно— сжатию. [c.17] Вектор tr M, v) = (M, — определяет касательное напряжение или напряжение сдвига, действующее на площадке, нормальной к вектору v. [c.17] С точки зрения размерностей ясно, что любая численная мера напряжения имеет размерность силы, деленной на площадь. [c.17] Результирующая массовых сил пропорциональна объему тетраэдра /2 dSh, где /г —высота, опущенная из точки М. [c.18] Вернуться к основной статье