ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения из "Метод граничных интегральных уравнений " Кратко рассматриваются Теоретические основы линейной механики разрушения для введения понятий коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии. В работе установлено, что метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), применяющийся для решения задач теории упругости, является эффективным и точным средством, позволяющим вычислять значения коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии в двух- и трехмерных задачах механики разрушения. Рассматриваются основные представления метода ГИУ и описывается распространение метода на задачи механики разрушения, В двумерном случае представлены численные результаты, полученные при помощи построения специальной функции Грина для задач о трещинах. В трехмерном случае приводятся результаты для поверхностной трещины, найденные путем стандартного решения по методу ГИУ. Указываются некоторые задачи и цели дальнейших исследований. [c.46] Долговечность конструкции, подвергающейся повторному действию нагрузок, интенсивность которых изменяется от умеренной до высокой, зачастую определяется циклическим ростом трещиноподобных дефектов. Установлено, что параметры, определенные при помощи линейной механики разрушения, позволяют получить соотношения, связывающие скорости роста трещин в образцах и конструкциях при номинальных упругих напряжениях. Эти параметры, называемые коэффициентами интенсивности напряжений, определенным образом учитывают значения напряжений, геометрические характеристики и размер трещины и могут быть вычислены посредством анализа напряженного состояния конструкций, имеющих трещины. [c.46] В следующем разделе рассматриваются теоретические аспекты механики разрушения, включая определение коэффициентов интенсивности напряжений и описание некоторых приемов их вычисления. Далее идет раздел, в котором рассматривается решение задач теории упругости методом ГИУ и его распространение на задачи механики разрушения. При этом обсуждаются численные результаты для двух- и трех мерных тел с трещинами, а также развивается специальный вариант метода ГИУ, предназначенный для решения задач механики разрушения. В заключение указываются некоторые из существующих ограничений и направления дальнейших исследований. [c.47] Наличие острой трещины в конструкции в общем случае понижает ее статическую и усталостную прочность вследствие значительного увеличения напряжений и деформаций вблизи вершины трещины. В теоретической механике разрушения делается попытка определить характеристики этого локального увеличения (или возрастания интенсивности) напряжений и деформаций. В общем случае поля напряжений и деформаций в концевой области трещины зависят в той или иной степени от всех трех пространственных переменных, что часто приводит к необходимости использовать трехмерный анализ. [c.47] В случае плоских конструкций, содержащих сквозные трещины, поля напряжений и деформаций впереди трещины можно приближенно считать двумерными. [c.48] Геометрические характеристики трещин. [c.48] Перемещение произвольной точки внутри тела обладает тремя степенями свободы. Следовательно, при построении упругой модели концевой области трещины должны учитываться три степени свободы или три типа перемещений для точек, расположенных вблизи конца трещины. Выделяют три типа условий у конца трещины, которые изображены на рис. 2 (нормальный) отрыв (тип I), (поперечный) сдвиг (тип II) и (продольный) сдвиг (тип III). Как будет показано ниже, существование этих трех типов условий возможно вследствие разделения полей напряжений, деформаций и перемещений, вблизи вершины трещины в изотропных материалах. [c.48] Здесь ai соответствует нагружению, симметричному относительно оси 6 = 0 (тип I) 1 — нагружению, антисимметричному относительно оси 6 — 0 (тип II). Выражение 0(г°) обозначает члены, пропорциональные неотрицательным степеням г. [c.49] В литературе содержится большое количество решений задач теории упругости о трещинах в двумерных телах. Примером справочника по коэффициентам интенсивности напряжений является работа [2]. Трехмерные задачи механики разрушения, за исключением некоторых задач о трещинах идеализированной формы в неограниченном теле, не имеют решения в замкнутом виде. Ниже приводится несколько примеров коэффициентов интенсивности напряжений в двух-и трехмерных телах. [c.50] В работе [2] приводится большое число решений подобных задач для ограниченных тел при различных формах трещин и условиях нагружения. [c.51] В случае трехмерных задач Да в (8) следует понимать как изменение площади одной из поверхностей трещины. Уравнение (8) лежит в основе существующих в механике разрушения методов испытаний, предназначенных для определения G путем измерения податливости образцов заданной конфигурации. При вычислении некоторых из представленных далее численных результатов величина G аппроксимируется согласно выражению (8). [c.52] Метод граничных интегральных уравнений был применен [7, 8] для анализа напряжений в двух- и трехмерных упругих телах, при этом обнаружились его отчетливые преимущества по сравнению с другими численными методами, например методом конечных элементов. Эти преимущества как подробнее описано в работе [9]) заключаются в уменьшении размерности задачи и увеличении точности решения, в особенности для задач с большими градиентами напряжений, какими являются задачи линейной механики разрушения. [c.52] Чтобы решить уравнение (10) и определить неизвестные на границе величины, интегральное уравнение аппроксимируется системой алгебраических уравнений. При этом граница приближенно представляется в виде множества отдельных сегментов, в пределах которых Uj и tj изменяются некоторым заданным образом. Например, можно было бы указать значения Uj и tj на некотором множестве узловых граничных точек (т. е. задать векторы uj и Sj и предположить линейное изменение этих величин в интервалах между узлами). [c.53] Решение системы (12) достигается при помощи стандартных матричных преобразований, и в результате определяются приближенные значения перемещений и вектора напряжений на всей поверхности тела. [c.54] При применении метода ГИУ к задачам механики разрушения трещина заменяется подходящей системой граничных сегментов, что описывается ниже в этом разделе. Кроме того, двумерные задачи, в которых допустимо моделировать трещину или хотя бы некоторую часть ее концевой области в виде одной прямолинейной щели, можно изучать, применяя специальную функцию Грина. Применение специальной функции Грина, хотя и усложняет запись ГИУ, однако устраняет необходимость в моделировании трещины. Детальное обсуждение этого подхода будет отложено до одного из последующих разделов. [c.54] Численные результаты показывают, что наиболее согласованные и точные значения получаются при экстраполяции разности перемещений поверхностей (раскрытия) трещины. Чтобы оценить КИН, достаточно определить раскрытие трещины из решения уравнений (12) при решении задач механики разрушения методом ГИУ более подробный анализ, требующийся при вычислении напряжений внутри тела, является дополнительным и ненужным усложнением. [c.55] Недавно был описан новый метод вычисления КИН, который оказался более точным, чем оценка по формулам (13), (14), в особенности для трещин в трехмерных телах. Метод основан на определении при помощи формулы (14) относительного изменения коэффициента интенсивности напряжений, нормированного при помощи некоторого эталонного значения. Это эталонное значение вычисляют затем, рассматривая скорость освобождения упругой энергии и используя формулу (8), что описано в работе [13]. [c.55] Энергия деформации упругого тела равна работе сил, приложенных к его границам. Эту работу можно вычислить непосредственно, используя решение уравнений (12). Если сравнить два полученных методом ГИУ решения для конфигураций, которые отличаются лишь незначительным изменением длины трещины, можно определить возникающее при этом небольшое изменение величины упругой энергии. Из решения уравнения (7) для нагружения типа I можно определить среднеквадратичное по контуру трещины значение КИН. Это среднеквадратичное значение Ki можно сопоставить с характером изменения КИН вдоль контура трещины для того, чтобы уменьшить ошибку вычислений, возникающую при определении / l на фронте трещины при помощи одной только формулы (14). Численные результаты, полученные при помощи обоих указанных методов оценки КИН, приводятся в следующем разделе. [c.55] Результаты этой статьи и работы [13] основаны на том обстоятельстве, что при моделировании рассматриваемых за дач плоскость трещины выбирается в качестве плоскости сим метрии. При этом как сама трещина, так и часть плоскости в которой расположена трещина, заменяются сеткой гранич ных сегментов. На части сегментов, Совпадающих с поверх ностью трещины, заданы граничные условия для вектора на пряжений на сегментах границы, расположенных вне тре щины, прикладываются нулевые касательные напряжения и нулевые нормальные перемещения (что будет описано в следующем разделе). Очевидным ограничением для применения такого подхода является то, что при этом можно моделировать только симметричные задачи, соответствующие типу I условий у конца трещины. Сейчас проводятся исследования, направленные на усовершенствование метода ГИУ, с тем чтобы моделировать обе компланарные поверхности трещины, избегая описанных вычислительных трудностей. [c.56] В этом разделе рассматриваются полученные недавно результаты для внутренней и поверхностной эллиптических трещин. Решение задач об эллиптических трещинах требует привлечения трехмерного анализа напряжений. Здесь рассматриваются только симметричные задачи о трещинах нормального отрыва (типа I). [c.56] Вернуться к основной статье