ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение метода граничных интегральных уравнений к изучению нестационарных явлений в твердых телах из "Метод граничных интегральных уравнений " Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) до сих пор применялся в большинстве случаев для анализа стационарных явлений. По сравнению с этим изучение нестационарных процессов приводит к дополнительным трудностям, возникающим из-за появления времени как независимой переменной. [c.30] Метод ГИУ был применен также к задаче квазистатиче-ской вязкоупругости в работе [3], опять-таки с использованием преобразования Лапласа. В пространстве преобразований эта задача сводится к соответствующей задаче статической теории упругости, как это следует из принципа соответствия. [c.31] Наконец, методом ГИУ, также в сочетании с преобразованием Лапласа, было изучено сложное и интересное явление распространения волн в твердых телах. Случай упругих тел исследовался в работах [4] и [5]. Это исследование было обобщено в [6] на случай вязкоупругости, для чего, как и ранее, применялся принцип соответствия. [c.31] Хотя метод ГИУ может применяться для решения как плоских, так и трехмерных задач, в этой статье для удобства рассматриваются задачи только в плоской постановке. В целях дальнейшего упрощения опускается обсуждение эффектов, вызванных наличием объемных сил и ненулевых начальных условий. [c.31] Таким образом, можно видеть, что упругие параметры и, и Я в уравнении (14) соответствуют вязкоупругим величинам и, а и я в уравнении (12). [c.34] Хорошо разработанный к настоящему времени алгоритм метода ГИУ, предназначенный для решения задач статической теории упругости, может быть, следовательно, применен для решения граничных задач квазистатической вязкоупругости в пространстве преобразований для ряда выбранных значений параметра преобразования. Последуюш,ий процесс определейия решения как функции времени обсуждается в разделе, посвященном обращению преобразования Лапласа. [c.34] Дополнительные детали см. в работе [3]. [c.34] Дальнейшие подробности см. в работе 4]. [c.36] Применительно к задаче нестационарной теплопроводности в данном разделе обсуждаются некоторые приближенные вычислительные алгоритмы, при помощи которых можно получить решение в пространстве преобразований для классов задач, рассматриваемых в настоящей статье. [c.36] Для заданного значения параметра s интегралы в уравнениях (26) содержат лишь, известные функции, значения которых определены для каждого Рт) во всех точках Q на границе. Следовательно, уравнения (26) образуют систему N линейных алгебраических уравнений относительно переменных T Qi, s) и дТ (Qi, s)/dn. Интегралы в (26), которые могут быть вычислены посредством численного интегрирования, представляют при этом известные коэффициенты при этих переменных. Если заданы значения переменных, соответствуюшие известным граничным условиям корректно поставленной граничной задачи, то остальные значения можно определить из решения алгебраических уравнений. [c.37] Применение других аппроксимаций T Q,s), отличных от рассмотренной в предыдущем абзаце, приведет к иным усложнениям при построении решения и к иной точности результатов. [c.37] Оставшийся этап в алгоритме решения задачи — это определение перемещений и напряжений как функций времени, исходя из их преобразований по Лапласу. В литературе описано несколько способов численного обращения преобразованных по Лапласу функций. Два таких типичных способа рассматриваются в этом разделе. [c.37] При численном счете, чтобы выполнить обратное преобразование, бесконечный ряд по т обрывают, оставляя конечное число членов М. Хотя в принципе точность сгбращения должна увеличиваться с ростом М, на практике число М будет ограничено неточностью значений / (s), а также неустойчивостью, внутренне присущей обращению преобразования Лапласа. [c.38] Они образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно М неизвестных А, В и а,-, которая может быть легко решена посредством какой-либо из разнообразных стандартных процедур. [c.39] Подстановка в формулу (31) величины (32), выражения (33) и т дополнительно выбранных значений приводит к т совместным уравнениям относительно т неизвестных aj. [c.39] Опыт показал, что наилучшие результаты при обратном преобразовании по методу работы [8] можно получить, выбирая М таких значений Sn, которые образуют геометрическую прогрессию. Границы интервала требуемых значений можно определить, вычисляя функцию f s) при произвольных s, изменяющихся в широком диапазоне, и строя график sf s) в зависимости от logs. Из такого графика видно, что f s) обычдо выходит на постоянный уровень при очень малых или очень больших значениях s. Значения в уравнениях (31) могут выбираться в пределах некоторого характерного участка на оси S, т. е. области, внутри которой имеется заметное изменение функции f s), обнаруживаемое при помощи упомянутого выше графика. Осталось лишь подобрать величину знаменателя геометрической прогрессии, что в свою очередь определит число членов ряда. Как и в других методах обращения, число членов должно оставаться небольшим, чтобы уменьшить неустойчивость при счете. [c.39] Чтобы дать представление о типичных результатах, кото рые можно получить, применяя метод ГИУ, в этом разделе рассматриваются два иллюстративных примера. [c.40] Результаты, полученные из точного аналитического решения [9], приведены для сравнения в табл. 1. [c.41] Вернуться к основной статье