ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод граничных интегральных уравнений — современный вычислительный метод прикладной механики из "Метод граничных интегральных уравнений " Моя цель состоит в том, чтобы попытаться изложить в этой вступительной статье основные положения, составляющие на мой взгляд сущность метода, которому посвящен настоящий симпозиум, а именно метода граничных интегральных уравнений, или, как его теперь сокращенно называют, метода ГИУ ). Метод ГИУ применим и в настоящее время успещно используется для решения весьма сложных задач прикладной механики. Последующие превосходные статьи продемонстрируют некоторые области применения и возможности метода ГИУ, его существующие и потенциальные преимущества по сравнению с конкурирующими численными методами и смогут на деле ясно показать, что проведение такой конференции, как эта, и именно сейчас является весьма уместным. [c.11] К счастью, или, возможно, как и следовало ожидать, оказывается, что ключевые идеи, лежащие в основе метода ГИУ, просты и немногочисленны. Именно на этих идеях и только на них я намереваюсь сосредоточить свое внимание в этом вступительном слове. Здесь не делается попытка дать тщательный исторический обзор истоков и современного состояния метода ГИУ. Скорее я просто надеюсь ответить на вопрос, в чем вкратце заключается существо метода. [c.11] В каждой точке поверхности дВ тела В задана какая-либо одна из функций / или g (и никогда обе одновременно) в зависимости от типа рассматриваемой задачи. Для определенности считается, что п — внешняя нормаль к поверхности. [c.12] Такие задачи имеют хорошо известные физические интерпретации в классических теориях кручения упругих тел, электростатики, теплопроводности, течения идеальной жидкости и ряде других дисциплин. Более того, многие методы как аналитического, так и численного решения подобных задач более или менее известны, и изложение их здесь не входит в мои цели. [c.12] И g на дВ) уравнение (3) было бы не просто тождеством, а такн е и решением указанной задачи. Чтобы получить решение ф в произвольной точке р, оставалось бы только вычислить интегралы в (3). В действительности, однако, известен лишь один из интегралов в выражении (3). [c.13] Теперь предположим, что можно было бы каким-либо способом (не решая для этого полностью всей задачи) найти функцию f при заданном g или g при заданном /. При этом тождество (3) действительно давало бы нам искомое решение. Такрй способ суш,ествует и он составляет суть метода ГИУ. [c.13] что изложенный метод решения граничных задач для уравнения Лапласа является весьма общим. Функции f и g могут быть в достаточной степени произвольными, и поверхность дВ тела В может иметь весьма нерегулярную форму. В большинстве случаев рассмотрение разрывов функций или касательных плоскостей к дВ потребует, и то не всегда, лишь незначительного изменения описанной схемы. Однако для большинства представляющих практический интерес задач об аналитическом решении уравнения (4) не может быть и речи. В силу этого надлежит искать эффективные численные подходы, что может быть достигнуто различными методами. Один из таких методов, очевидно простейший и в то же время неожиданно хорошо работающий, описывается ниже. [c.13] В случае необходимости градиенты ф в точке р можно вычислить под знаком интеграла, и процесс рещения полностью заканчивается. [c.14] ГИУ в миниатюре . Для большинства задач метод хорошо работает при малом числе N, даже при самых простых ап-проксимационных предположениях, когда функции f и g представляются постоянными fo и ga соответственно. Повышения точности и разрешающей способности метод а можно достигнуть за счет выбора более сложных представлений для функций f и g, применения улучшенных методов интегрирования, позволяющих более точно вычислять и а также за счет увеличения числа N и различного расположения участков разбиения поверхности. [c.15] Ключевой особенностью метода в целом, по-видимому, является то обстоятельство, что дискретизируется только поверхность дВ тела. Значения функции ф внутри тела В необходимо определять лишь там, где это требуется по условию задачи. Таким образом, метод ГИУ фактически позволяет понизить размерность рассматриваемой задачи. Это обстоятельство в сочетании с эффективностью метода ГИУ является, по-видимому, главной причиной его растущей популярности. [c.15] Частные примеры, иллюстрирующие приведенное общее описание метода, будут даны в последующих статьях. Будет также кратко затронут вопрос о том, что делать для решения неэллиптических и неоднородных (правые части в (8) не равны нулю) систем это покажет, что метод ГИУ может применяться значительно шире, чем отмечалось выше. [c.16] что математический аппарат метода ГИУ является полностью классическим и достаточно сильным, чтобы устанавливать общие соотношения между искомыми функциями и граничными значениями. Однако это математический аппарат другого типа, чем тот, который обычно используется для получения численных результатов в инженерных задачах. Следует отметить, что интегральные уравнения уже использовались ранее для постановки и численного решения многих задач, однако в методе ГИУ максимально и, я думаю, наиболее систематически и универсально применяются фундаментальные соотношения между граничными функциями и решением там, где это возможно. Что в таком случае является новым в методе ГИУ —это не его обоснование, а, пожалуй, та точка зрения, с которой можно рассматривать классический математический аппарат в свете способности современных вычислительных машин производить арифметические действия. Не приступая вначале к дискретному описанию всей задачи в целом, мы, действуя, насколько возможно аналитически, устанавливаем в методе ГИУ общие соотношения между значениями на границе и-лишь затем вводим аппроксимации, которые являются сравнительно прямыми и наиболее эффективными. [c.16] Вернуться к основной статье