ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стюарт, Д. Карни III Колебания кольцевых пластинок, подкрепленных на внешнем и внутреннем контурах из "Колебания и устойчивость многосвязных тонкостенных систем " Широкое внедрение в современной технике легких несущих конструкций, жесткость которых относительно невелика, вызывает необходимость исследования динамических характеристик таких систем. Этим обстоятельством, а также возросшим применением круговых элементов в различных конструкциях и обусловлено появление этой работы. [c.17] В данной работе описывается метод получения решения в замкнутой форме для свободных поперечных колебаний кольцевых пластинок, имеющих краевые подкрепления. Техника решения продемонстрирована для кольцевой пластинки, внутренний свободный и внешний шарнирно опертый края которой подкреплены круговыми шпангоутами (рис. 1). [c.18] Для описания граничных условий на краях пластинки необходимо соответствующим образом представить уравнения движения для кольцевых шпангоутов. [c.19] В дальнейшем в уравнениях (7) —(12) индекс i заменяется на А для внешнего шпангоута и на для внутреннего и радиусы а Vi Ь используются для внешнего и внутреннего шпангоутов соответственно. [c.20] Подставляя (6) в уравнения (23) —(26), удовлетворяющие граничным условиям и соотношениям неразрывности,. [c.21] Анализ кривых на рис. 3—5, полученных при фл = О, показывает, что по мере увеличения жесткости шпангоута собственная частота колебаний системы также возрастает, в то время как с увеличением массы и безразмерного параметра момента инерции внутреннего шпангоута собственная частота колебаний уйеньшается. [c.26] Собственные частоты первой формы осесимметричных колебаний, показанные на рис. 3(a) — (d), не зависят от параметров крутильной жесткости и 1в. Это нетрудно определить из уравнений (28) — (32), в которые или входят как сомножители с некоторой положительной степенью числа п, равного нулю для первой формы колебаний. Увеличение безразмерного параметра момента инерции 1в уменьшает но с возрастанием жесткости внутреннего шпангоута влияние этого параметра на собственные частоты колебаний падает. Однако частотный параметр весьма чувствителен даже к небольшим изменениям параметра изгибной жесткости riB, и, как это видно из графиков, с его увеличением уровень кривых снижается. [c.26] Для собственных частот колебаний второй формы (п == 1), показанных на рис. 4(a) — (d), влияние крутильной и изгибной жесткостей на одинаково, в чем нетрудно убедиться, подставив значение п = 1 в уравнения (28) — (32). Частота колебаний чрезвычайно чувствительна к увеличению низших значений этих жесткостей. В отличие от первой формы колебаний в этом случае уменьшение значений вызванное увеличением параметра усиливается с возрастанием изгибной или крутильной жесткостей. Устремив жесткость внутреннего шпангоута к бесконечности, мы перейдем к колебаниям абсолютно жесткого кольца относительно одной из его диаметральных осей, и как нетрудно видеть, увеличение безразмерного момента инерции его поперечного сечения снижает собственные частоты колебаний системы. [c.26] На рис. 5 показана зависимость от отношения Ь/а для первой формы колебаний. При значениях изгибной жесткости, близких к нулю, уменьшается с увеличением этого отношения. Если т] 2 и а 0,5, то угол наклона кривых резко возрастает, что указывает на большую чувствительность собственных частот колебаний к изменениям больших значений этого параметра. [c.26] Представим граничные условия на внешнем крае пластины как шпангоут нулевой жесткости для случая шарнирного опирания и как шпангоут бесконечной жесткости — для защемления. Аналогично нулевой параметр массы и нулевая жесткость на внутренней границе означают свободный край, а бесконечная жесткость с конечной массой соответствует жесткому включению. Собственные частоты колебаний для таких предельных случаев граничных условий на краях кольцевых пластинок определяются аналогичным образом из уравнения (27). Результаты, полученные авторами при различных значениях отношения Ь/а, согласуются с результатами работ [6—8]. [c.27] При помощи метода Рэлея — Ритца исследуются свободные изгибные колебания и упругая устойчивость кольцевых пластинок при действии равномерно распределенной внутренней растйгивающей силы причем в качестве функций, аппроксимирующих колебания пластинок для восьми различных типов граничных условий, например защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, используются простые полиномы. Установлено, что критическая форма устойчивости для пластинок при действии внутреннего растяжения никогда не соответствует осесимметричной форме и пластинка всегда изгибается вначале с конечным числом окружных волн. Число окружных волн, образующихся в результате потери устойчивости, увеличивается с увеличением величины коэффициента, характеризующего размеры выреза, а также с увеличением величин геометрических констант на краях (как для пластинок, нагруженных внешним сжимающим давлением). Для характерных значений коэффициента интенсивности нагружения, равного отношению текущего значения нагрузки к критическому при потере устойчивости, получены точные значения собственных частот колебаний при различных значениях размеров вырезов, сочетаний граничных условий и для широкой области изменения числа окружных волн. Формы потери устойчивости и значения основной собственной часто.ты колебаний нагруженных пластинок зависели в каждом случае от граничных условий так же, как и от значения коэффициента, характеризующего интенсивность нагружения. Было обнаружено, что условное предположение для кольцевых пластинок при действии внутренних сил о том, что растягивающие (сжимающие) силы в плоскости пластинки увеличивают (уменьшают) собственную частоту колебаний, является справедливым только для осесимметричной формы. С увеличением порядка осесимметричной формы колебаний проявляется противоположная тенденция в поведении пластинки в том смысле, что собственная частота колебаний пластинки при действии внутреннего растяжения (сжатия) возрастает (падает) с увеличением величины нагрузки. [c.30] как видно из представленных выше соображений, существует определенный недостаток информации в литературе по динамическому поведению кольцевых пластинок при действии растягивающих сил в их плоскости. В Настоящей статье сделана попытка восполнить этот пробел. Как и в предыдущих работах [10,11], тестовая задача здесь также исследуется двумя отдельными путями при помощи метода Рэлея — Ритца с использованием в качестве аппроксимирующих функций простых полиномов. Первоначально будут определены точные значения нагрузок потери устойчивости для различных значений размеров вырезов, различных комбинаций граничных условий типа защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, а также для различного числа окружных волн. Полученная таким образом для данного кольца критическая нагрузка потери устойчивости используется затем для определения отдельных значений безразмерного параметра, названного коэффициентом интенсивности нагружения (равного частному от деления текущего значения нагрузки на критическую силу потери устойчивости). Для ряда частных значений коэффициента интенсивности нагружения получены точные значения собственных частот колебаний для широкой области числа окружных волн. Для непосредственного использования инженерами-конструкторами результатов настоящей работы числовые данные представлены в форме таблиц и графиков. [c.32] Чтобы избежать повторения, анализ описан сжато. Однако для полноты и непрерывности приведены основные уравнения и процедура решения. [c.32] Как можно видеть, при pi О напряжения Or всегда растягивающие, а (Т0 — всегда сжимающие. Следовательно, можно предположить, что пластинка при действии внутреннего растяжения будет терять устойчивость. [c.33] Предположим, что пластинка теряет устойчивость р конечным числом волн в окружном направлении, равном п. [c.33] Для расчетов используемые в прямом анализе функции Vi r) и в модифицированном анализе функции Ui y) были выбраны в виде простых полиномов с наименьшим порядком соответственно по г и (см, табл. 1, [16]). Прямой анализ был выполнен для а/6 0,3, модифицированный анализ — для а/ 0,3 с использованием до пяти членов в методе Рэлея— Ритца. Все вычисления были проведены для коэффициента Пуассона v = 0,3 и с квадратичной арифметической точностью (около 16 значащих цифр) на цифровой вычислительной машине IBM 370/168 в Технической школе Дармштадта. [c.35] На рис. 2 показано изменение бифуркационного параметра нагрузки piO h/D) в зависимости от относительного размера выреза а/Ь для форм колебаний с различным числом узловых диаметров и для различных граничных условий. Как можно видеть, осесимметричная форма колебаний никогда не соответствует критической форме потери устойчивости пластинки и пластинка всегда сначала теряет устойчивость с конечным числом окружных волн, равным п, зависящим от размера выреза и граничных условий. Число окружных волн в критической форме потери устойчивости увеличивается с увеличением значений отношения а/Ь и с увеличением порядка краевых, геометрических констант. Такое поведение пластинки качественно подобно поведению пластинок при действии внешнего сжатия [14]. Наименьшие (критические) бифуркационные нагрузки и соответствующие им значения числа п представлены в табл. 1 для значений отношения ajb, изменяющихся от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1. [c.35] Примечание. 1. С — защемление, S —шарнирное опирание, F —свободный край. Первая буква обозначает граничные условия на крае г—6, 2. Числа а круглых скобках обозначают число окружных волн п при критической форме потери устойчивости. [c.37] Примечание. 1. Параметр а определяется по отношению к критической нагрузке для пластинки, нагруженной растягивающими силами, на внутреннем крае (см. табл. 1). 2. га —число узловых диаметров. [c.41] Вернуться к основной статье