ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Квантовые операторы в представлении когерентных состояний из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.2 " Преимущества представления когерентных состояний становятся очевидны при работе с квантовомеханическими операторами. Как мы увидим, такие операторы могут быть представлены функциями комплексных переменных, которые отражают все квантовые свойства динамических переменных. В статистической механике особую важность приобретает то обстоятельство, что аналогичное представление может быть введено также и для статистических операторов. Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одной степени свободы, описываемой бозе-операторами Ь и. Обобщение на многочастичные бозе-системы оставим читателю в качестве упражнения. [c.145] Покажем, что коэффициенты в (7В.1) - (7В.З) тесно связаны с тремя функциями комплексных переменных 0)jy z,z ), 0)j z,z ) и 0)yy z,z ), которые содержат полную информацию об операторе О. [c.145] Когерентные состояния, введенные в настоящем приложении, соответствуют так называемой алгебре Гайзенберга-Вейля с базисными операторами 6,, i. [c.145] если известна функция 0)j z,z ), то нормально-унорядоченную форму оператора О можно найти путем разложения этой функции по степеням z и z. Коэффициенты в этом разложении совпадают с коэффициентами Отп в (7В.1). Интересно, что в представлении когерентных состояний оператор полностью определяется своими диагональными матричными элементами ). [c.146] Выражение (7В.6) для квантовомеханических операторов было впервые использовано Глаубером [73] и Сударшаном [155] в задачах квантовой оптики. [c.146] В некотором смысле интегрирование функции F z z ) с 6цг Ь — z) сводится к подстановкам Z Ь и Z Ь . Заметим, однако, что в свойстве (7В.9) проявляется операторный характер функции Syy b — z) поскольку ее моменты определяют симметризованные произведения операторов рождения и уничтожения. [c.146] Скалярное произведение v и) имеет вид (7Б.16), а матричный элемент u Sf v) легко вычисляется с помощью выражения (7Б.11). Интегрирование по и и проводится элементарно и дает (7В.18). [c.147] Важно иметь в виду, что эта формула справедлива только для вейлевского символа, так как операторные дельта-функции Sj и не обладают свойством (7В.21). [c.148] В конкретных приложениях обычно приходится иметь дело с произведениями операторов. Поэтому нужно сформулировать правило, с помощью которого вычисляется вейлевский символ оператора С = АВ если символы операторов А и В известны. Мы кратко опишем вывод этого правила, основанный на формализме операторных дельтафункций ). [c.148] Имеющиеся в литературе выводы правил преобразования символов (см., например, [4, 31]) фактически основаны на той же самой идее, хотя операторные дельта-функции явно не вводятся. [c.148] Другой вывод можно найти, например, в [60]. [c.148] Она бывает полезна, если вейлевский символ [В)уу имеет более простую структуру, чем А)уу. [c.149] Изложенный формализм находит многочисленные применения в задачах квантовой механики и статистической физики [4, 31, 104]. В теории неравновесных процессов он дает возможность преобразовать квантовое уравнение Лиувилля или основные кинетические уравнения в дифференциальные уравнения для символов матриц плотности. Во многих случаях решать эти дифференциальные уравнения проще, чем иметь дело с исходными операторными уравнениями. [c.149] Оно дает возможность записать g t)A и Ag t) в виде произведений функции распределения f z z t) и вейлевского символа оператора А. [c.149] Существует тесная связь между функцией распределения (7В.28) и одночастичной функцией Вигнера. Этот аспект метода когерентных состояний подробно рассмотрен в книге [60]. [c.149] Можно показать, что функция распределения (7В.30) пропорциональна символу g t)) z,z ), который входит в формулу (7В.6) для статистического оператора = тг fjy(z,z , t). [c.149] Изложенный здесь формализм может быть обобщен на бозе-системы, описываемые набором операторов рождения и уничтожения Ь] и 6J. Поскольку операторы с различными индексами коммутируют, такое обобщение фактически тривиально. [c.150] Вернуться к основной статье