ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные интегралы столкновений из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.1 " Коэффициенты и зависят от времени по двум причинам. Аргумент г указывает на их явную зависимость от времени, а аргумент t — т отражает неявную зависимость через функции e k z) и Г(к,2 ), заданные выражениями (3.4.47) и (3.4.48). [c.230] Поскольку интегралы столкновений (3.4.58) и (3.4.66) получены путем суммирования одних и тех же поляризационных диаграмм, выражение (3.4.66) можно назвать немарковским интегралом столкновений Балеску-Ленарда. Отметим, что формулы (3.4.66) - (3.4.68) дают наиболее общую форму интеграла столкновений в однородной плазме в поляризационном приближении, когда взаимодействие между частицами считается слабым. Все предыдущие результаты можно вывести из этих формул путем введения тех или иных дополнительных приближений. [c.230] Для вывода соотношений (3.4.59) и (3.4.60) необходимо предположить, что плазма устойчива, и, следовательно, контур С можно сместить к действительной оси. [c.231] Немарковский интеграл столкновений Ландау (3.4.31) соответствует приближению слабой поляризации. Считая, что e k,z) —1 С 1 для всех ки z, мы можем положить e k z) = 1 в (3.4.67), поскольку T k z) уже имеет первый порядок по взаимодействию. Однако в формуле (3.4.68) необходимо учесть линейное приближение по отклонению б — 1 в этом приближении — 1 1 — б. Тогда подынтегральные выражения не будут иметь особенностей в верхней полуплоскости 2 и контур интегрирования С может быть смещен к действительной оси. Читатель сам легко проверит, что в результате несложных преобразований формула (3.4.66) переходит в интеграл столкновений Ландау (3.4.31). [c.231] Напомним, что выражения (3.4.66) - (3.4.68) были выведены для пространственно однородной плазмы. Для того, чтобы они были справедливы и для неоднородных состояний, необходимо, чтобы выполнялось первое из условий (3.4.65). Тогда при вычислении б(к,2 ), Г(к,2 ) и интеграла столкновений (3.4.66) одночастичные функции распределения fa Pa ) можно заменить функциями /а(г,р , ) с одинаковыми пространственными аргументами. [c.231] Единственным исключением является интеграл столкновений Больцмана, в котором двухчастичный процесс рассеяния описывается точно. Отметим, однако, что интеграл столкновений Больцмана переходит в интеграл столкновений Ландау при малых волновых векторах и, следовательно, логарифмически расходится в этой области. [c.231] Существуют и другие подходы к исключению сингулярностей в интеграле столкновений для плазмы. Некоторые из них, основанные на введении эффективных экранированных потенциалов, рассмотрены в книге [35]. Тем не менее, приходится отметить, что в настоящее время не существует последовательного метода построения сходящегося интеграла столкновений, который правильно учитывал бы близкие столкновения частиц и динамическое экранирование. Мы кратко остановимся на основных чертах проблемы, используя диаграммный метод. [c.232] Заметим, что простейшие диаграммы, изображенные на рис. 3.15 и рис. 3.16, содержат вершины двух типов. Вершины среднего поля , описывающие поляризационные эффекты, играют важную роль на больших расстояниях, в то время как столкно-вительные вершины дают главный вклад на малых расстояниях, где взаимодействие становится сильным. Таким образом, для правильного учета поляризационных эффектов и сильного взаимодействия на малых расстояниях между частицами желательно просуммировать не только диаграммы со средне-полевыми вершинами, но и диаграммы, приводящие к интегралу столкновений Больцмана ). [c.232] Ряд таких диаграмм изображен на рис. 3.12. [c.232] Это уравнение отличается от уравнения (3.4.40) тем, что в левой части оно содержит точный двухчастичный оператор Лиувилля Ьаь-, не оператор описывающий свободное движение. Это отличие приводит к двум важным следствиям. Во-первых, с физической точки зрения уравнение (3.4.70) предпочтительнее уравнения (3.4.40), так как на малых расстояниях оно соответствует приближению Больцмана, а не приближению Ландау. Во-вторых, в математическом отношении уравнение (3.4.70) значительно сложнее, чем (3.4.40). Мы видели, что уравнение (3.4.40) может быть преобразовано в точно интегрируемое уравнение в к-представлении, где структура оператора становится очень простой. К сожалению, этот метод не годится для уравнения (3.470), так как в к-представлении Ьаь является интегральным оператором. С другой стороны, больцмановский член достаточно просто учитывается в координатном представлении, но зато в этом представлении сложно рассматривать поляризационные эффекты. Таким образом, проблема построения сходящегося интеграла столкновений для плазмы сводится к математической проблеме решения уравнения для Gab- Возможно, что эту трудность удастся преодолеть путем построения подходящего приближенного решения уравнения (3.4.70). [c.233] Вернуться к основной статье