ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные уравнения теории упругости из "Курс теоретической механики. Т.2 " В заключение этой главы, как пример развития уравнений кинематики и динамики сплошной среды, рассмотрим основные уравнения теории упругости. [c.511] Уравнения динамики и кинематики сплошной среды не позволяют указать формулировки задач континуальной механики, свободные от неопределенностей, так как их количество меньше, чем количество искомых функций. [c.511] Для доопределения проблем континуальной механики вводятся различные определяющие уравнения или уравнения состояния, найденные на основании многочисленных наблюдений и опытов. [c.511] В основе теории упругости — статики и динамики упругих тел — лежит обобщенный закон Гука, устанавливающий связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций. Закон Гука был установлен непосредственными опытами для простейших случаев деформирования. [c.511] Опыты и наблюдения привели к заключению, что в изотропной среде главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают. [c.511] Коэффициенты и ц характеризуют упругие свойства тела. В однородных телах 7. и р постоянны. Эти коэффициенты называются упругими постоянными Ляме. [c.511] Обычно под тензором понимают тензор малых деформаций. Поэтому мы в дальнейшем полагаем = Д р. [c.511] Здесь — компоненты тензора четвертого ранга, который можно назвать тензором упругости. [c.512] Тензор упругости имеет всего З = 81 компоненту. Однако ниже из энергетических соображений будет установлено, что количество существенно различных компонент этого тензора не превышает 21. [c.512] Как видно из равенства (IV. 107), компоненты тензора Р симметричны относительно индексов i и /г, а и р и относительно пар индексов ik и ар. [c.512] Эти зависимости являются обращением равенств (IV. 106). [c.512] Следовательно, IV есть квадратичная форма компонент тензора деформации или тензора напряжений. Как показывает более подробное исследование, эта форма положительно определенная. [c.512] Возвратимся к случаю изотропного и однородного тела. Будем рассматривать малые деформации. [c.513] Мы применили здесь теорему Риччи ( 210 т. I), а также воспользовались возможностью производить перестановку последовательного порядка ковариантного дифференцирования в евклидовом пространстве. [c.513] Эти приближенные равенства показывают, что при малых деформациях исчезает различие между переменными Эйлера и Лагранжа. [c.513] Уравнения (IV. 117) известны в теории упругости под названием уравнений Ляме. [c.514] Уравнения (IV. 114) и (IV. 115) позволяют составить уравнения Ляме в произвольной криволинейной системе координат. [c.514] Эти вычисления не представляют принципиальных трудностей, и мы предоставляем их читателю. [c.514] При применении ортогональных систем координат следует пользоваться содержанием 48 т. I. При применении цилиндрических и сферических координат надо пользоваться символами Кристоффеля, вычисленными в 49 т. I. [c.514] Этим завершается обзор основных понятий механики сплошной среды. Развитие этих понятий читатель может найти в многочисленных монографиях и руководствах. [c.514] Вернуться к основной статье