ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие уравнения равновесия и движения сплошных сред из "Курс теоретической механики. Т.2 " В этой главе рассмотрены основы механики сплошной среды и частного случая сплошной среды — механики упругих тел. [c.495] Далее будет показано, что содержание настоящей главы (так же как и содержание предыдущей главы и последующих глав), является основой фундамента общей теории относительности. [c.495] Механика деформируемых тел издавна является важнейшей областью приложений операций тензорного исчисления, изложенных в т. I. [c.495] В механике деформируемых тел (иначе называемой механикой сплошной среды) при макрофизическом изучении свойств тел отвлекаются от молекулярного строения вещества и предполагают, что материя, составляющая тело, непрерывно заполняет некоторую часть пространства. [c.495] Эйлер сделал возможным введение в механику понятия о скалярных и векторных полях ( 210, т. I), определяя плотность жидкости и вектор скорости ее частицы как функции четырех переменных — времени и трех пространственных координат. Эти переменные называются переменными Эйлера. [c.495] Таким образом, движущаяся жидкость является полем скалярной функции — плотности и векторным полем скоростей частиц в жидкости. Переменными Эйлера пользуются не только в гидромеханике. Они находят применение во всех разделах механики деформируемых тел. [c.495] Кроме переменных Эйлера в механике деформируемых тел применяются переменные Лагранжа. [c.495] Переменные Лагранжа определяют положение отдельных частиц сплошной среды как функции времени и трех независимых параметров, позволяющих индивидуализировать частицы деформируемого тела ). [c.495] Здесь т — компоненты тензора напряжений, рР — компоненты объемных сил, действующих на элемент сплошной среды, р — плотность среды, и — компоненты вектора скорости элемента среды. [c.496] Будем предполагать, что рР о и р —функции времени и координат X, т. е. будем считать, что эти величины определены в переменных Эйлера. [c.496] Придадим уравнениям (IV. 44) и (IV. 45) инвариантную форму, справедливую для произвольной системы координат. [c.496] Покажем, что система уравнений (IV. 44)—(IV. 45) или (IV. 46) — (IV. 47) эквивалентна некоторому тензорному уравнению в четырехмерном многообразии координат х и времени 1. Временно возвратимся к прямоугольным декартовым координатам. [c.496] Последнее равенство не зависит от выбора системы координат. [c.497] Систему уравнений (IV. 52), (IV. 53) можно рассматривать как тензорное уравнение в четырехмерном многообразии координат и времени. [c.497] Правая часть этого равенства представляет собой сумму массы частицы и удвоенной кинетической энергии. [c.498] С другой стороны, матрица (IV. 54) принадлежит к типу окаймленных. Окаймление состоит из импульсов (количеств движения) ро и плотности р. Эти свойства тензора 5 объясняют его наименование и устанавливают его связь с мерами движения. [c.498] Мы пока не предполагаем выходить за рамки классической механики. [c.498] Уравнения (IV. 56) и (IV. 59) определяют движение элемента сплошной среды независимо от ее конкретной физической природы. Они одинаково пригодны для идеальной и вязкой жидкости, для пластических и упругих тел. [c.499] Пользуясь уравнениями (IV.59), можно составить уравнения движения в какой-либо определенной системе координат, например, в цилиндрических, сферических и иных ортогональных координатах. [c.499] В ортогональных координатах обычно пользуются не компонентами тензоров, а их проекциями на оси местного координатного базиса, которые определяются по формулам (11.73) — (11.74) т. I. [c.499] Вернуться к основной статье