ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай движения твердого тела вокруг закрепленной точки, рассмотренный Лагранжей из "Курс теоретической механики. Т.2 " Перейдем к интегрированию динамических уравнений Эйлера. Обратим внимание сначала на некоторые соотношения, которыми нам придется пользоваться дальше. [c.421] Здесь со — модуль вектора о). [c.422] Покажем, что, пользуясь первыми интегралами, положенными в основу геометрической интерпретации Пуансо, можно выразить og, сол, og через со и свести задачу к квадратуре. [c.422] Знак перед корнем в равенстве (III. 26) нужно выбирать в соответствии с возрастанием или уменьшением u . [c.423] Таким образом, вопрос сведен к квадратуре, как и предполагалось, на основании теоремы о последнем множителе Якоби. [c.423] Знак корня в правой части равенства (III.30) противоположен знаку корня в правой части равенства (III.26). [c.424] При изменении О на интервале (0, л/2) величина уменьшается. Следовательно, знак корня в правой части равенства (III. 30) будет положительным. На интервале (я/2, п) знак этого корня будет отрицательным и т. д. [c.424] Здесь /о — постоянная интегрирования. [c.425] Знаки необходимо выбирать в соответствии с начальными условиями. Во время дальнейшего движения они не изменяются. Формулы (III. 32а) — (III. 32d) доказаны для промежутка времени, соответствующего изменению угла д на интервале (0, я/2). [c.425] Формулы (III. 32Ь) — (III. 32d) остаются без изменений. Аналогично можно исследовать изменение б при дальнейшем увеличении времени. [c.426] Найденные формулы почти разрешают задачу о нахождении кинематического закона движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Действительно, для определения закона движения необходимо найти углы Эйлера как функции времени. [c.426] Покажем, что это определение требует только одной квадратуры. [c.426] Соотношения (III. 32b) — (III.32d) позволяют определить уь уа. Уз как функции времени. [c.426] Дальнейшие преобразования произведем, основываясь на формулах (111.34) и (111.35) и динамических уравнениях Эйлера. Эти преобразования не вносят принципиально новых фактов, и мы их не производим. Согласно равенствам (111.34) и (111.35) углы ф и 0 являются известными функциями времени. Таким образом, угол ф целиком определяется равенством (п), и закон движения твердого тела в задаче, поставленной Л. Эйлером, найден. [c.426] В решение входят шесть постоянных интегрирования три постоянные площадей, постоянная энергии и постоянные интегрирования 0 и С. [c.426] найдено общее решение поставленной задачи, поскольку на постоянные интегрирования не накладывались никакие ограничения. [c.426] Эйлера можно было бы провести в эллиптических функциях Вейерштрасса. Как упражнение по теории эллиптических функций предлагаем это проделать читателю. [c.427] Лагранж рассмотрел случай движения твердого тела, существенно отличающийся от случая, рассмотренного Эйлером. [c.427] Допустим, что исследуется движение однородного тела вращения А (рис. 53). Неподвижная точка О лежит на оси симметрии ОС. На этой же оси лежит центр инерции тела С. Предполагаем, что на тело А действуют только силы тяжести. Конечно, условие однородности можно заменить более широким предположением о наличии материальной симметрии тела относительно оси ос. [c.427] Введем подвижную и неподвижную системы координат так, как это показано на рис. 53. Общее начало двух систем координат выберем в закрепленной точке О. Ось Oz неподвижной системы координат вертикальна. Ось 0 подвижной системы, неизменно связанной с телом, совпадает с осью материальной симметрии тела ОС. [c.427] Вернуться к основной статье