ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О построении интегральных инвариантов. Возможность применения тензорного исчисления из "Курс теоретической механики. Т.2 " Рассмотрим некоторые интегральные инварианты, встречающиеся в механике. [c.382] Предположим сначала, соответственно теории А. Пуанкаре, что Ы = 0. Затем проинтегрируем правую и левую части равенства (б ) по замкнутому контуру в области шо, которой принадлежит многообразие изображающих точек с координатами и где и — начальные значения канонических переменных. [c.383] Начальные значения канонических переменных арифметизируют многообразие изображающих точек, принадлежащее области Шо. Эта арифметизация не изменяется при дальнейщем движении материальной системы и сохраняется в области ш ( 132). Рещения системы дифференциальных уравнений (II. 379) устанавливают связь между каноническими переменными д, и pj в произвольный момент времени и их начальными значениями. Также постоянные и 6j связаны с д о и р,о. Следовательно, gio и можно рассматривать как независимые координаты в многообразии изображающих точек. Подробнее об этом сказано в следующем параграфе. [c.383] Надо заметить, что замкнутая кривая в области Шо перейдет в замкнутую кривую области ш, которой принадлежит многообразие изображающих точек в произвольный момент времени. [c.383] Общие методы построения интегральных инвариантов были рассмотрены рядом исследователей. Здесь ограничимся лишь краткими замечаниями но поводу этой проблемы, отсылая читателей к цитированной выше книге Э.Кар-тана. [c.385] Основой каждого интегрального инварианта является некоторая дифференциальная форма, т. е. однородная алгебраическая функция переменных 6x1, бл-2,. .., 8х,г (в случае полного интегрального инварианта и б1). [c.385] Дифференциальная форма Ф, удовлетворяющая указанному условии , нз-зЫ1ва,ется, инвариантной относительно заданной системы дифференциальных уравнений (И. 379). [c.385] Эти вопросы Э. Картан решает посредством разработанного им аппарата действий над дифференциальными формами, так называемого оз-исчисле-ния ) Не имея возможности входить в подробности указанных исследований, ограничимся рассмотрением лишь некоторых общих положений. [c.385] Покажем сначала, что общему решению системы дифференциальных уравнений (II. 379) соответствует бесконечное количество абсолютных и относительных инвариантов первого порядка ). [c.385] Действительно, интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала 6Е равен нулю. [c.386] Рассмотрим общий вопрос о построении интегральных инвариантов и возможности привлечения к этому построению основ тензорного исчисления. [c.386] Как известно из предыдущего, тензорное исчисление является аналитическим аппаратом, приспособленным для построения выражений, инвариантных относительно точечных преобразований координат. [c.386] Очевидно, надо отличать инвариантность относительно систем дифференциальных уравнений и инвариантность относительно точечных преобразований. Инвариантность относительно системы дифференциальных уравнений требует лишь независимости результата некоторой дифференциальной и интегральной операции, определенной в многообразии изображающих точек, от времени и не связывается со способом преобразования координат этого многообразия. [c.386] Возможность применения тензорного исчисления к построению интегральных инвариантов нуждается в предварительном анализе. [c.386] Интегральные инварианты не принадлежат к объектам тензорного исчисления, так как они не подчиняются законам преобразования тензорных величин. Но дифференциальные формы, являющиеся основой интегральных инвариантов, удовлетворяют условиям инвариантности относительно некоторых точечных преобразований, о которых идет речь ниже, и, в ином с.мысле, относительно некоторой системы дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет применить тензорное исчисление к вопросам теории интегральных инвариантов. [c.386] Сначала следует рассмотреть общие свойства независимых переменных, определяющих положения изображающих точек, движение которых определено уравнениями (11.379), в образованном этими точками многообразии. Затем надо найти те преобразования независимых переменных, которые следует положить в основу построения интегральных инвариантов. [c.386] Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386] Эйлера ). Время ( и начальное значение времени входят в эти формулы как не.завпоимые параметры. [c.387] Вернуться к основной статье