ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие об интегральных инвариантах. Уравнения в вариациях из "Курс теоретической механики. Т.2 " Покажем, не останавливаясь на подробностях, что время t и начальный момент времени /о могут входить в кинематические уравнения движения (е) только в форме разности I — /о. [c.372] Действительно, если время I не входит явно в функцию Н, то дифференциальные уравнения движения также не содержат явно время. Время I входит лишь неявно, как аргумент в координаты точек материальной системы и производные от них по времени. В этом случае время 1 можно исключить из дифференциальных уравнений движения на основании интеграла энергии (а). [c.373] Дальше, начальные обобщенные скорости можно исключить из состава функции 5. [c.373] Чтобы закончить построение характеристической функции, исключим время из ее состава, воспользовавшись интегралом энергии (а). [c.373] Постоянная энергии /г зависит лишь от у о и ч. [c.373] Равенство (1) эквивалентно равенству ( ). [c.374] Равенство (1) или (д) позволяет исключить время из функции 5. [c.374] Функция 3 после исключения из нее на основании интеграла анергии разности I — /о называется характеристической функцией Якоби. [c.374] Последнее равенство вытекает из функции W от постоянной энергии /г. [c.374] В равенстве (II. 377а) — (11.378) входит 2М — 2 постоянных и Ь . Кроме них входят к и 1о — всего 2М независимых постоянных. Следовательно, вновь найдено общее решение канонической системы дифференциальных уравнений движения. [c.375] Следует отметить, что в соотношения (II. 377а) и (П.377Ь) время 1 не входит. Эти соотношения определяют траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций. Последнее соотношение определяет закон движения изображающей точки по ее траектории. [c.375] Ограничимся рассмотрением лишь простейших случаев. [c.375] Найден полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. В него входят постоянные интегрирования а, р, Л и аддитивная постоянная С. [c.376] Заметим, что координата р — циклическая. [c.376] Если /[ 0, орбитой планеты является эллипс, при /г = 0 — орбитой будет парабола и при /г 0 — гипербола ). [c.378] Ниже рассматривается цикл вопросов, примыкающих к теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби и теории канонических преобразований. Эти вопросы объединяются понятием об интегральных инвариантах, введенным А. Пуанкаре ). Конечно, будут приведены лигиь сравнительно краткие сведения об этом направлении современной аналитической механики. [c.379] Пусть некоторое многообразие точек, движение которых определяется уравнениями вида (11.379), заполняет в некоторый момент времени область шо. принадлежащую подпространству Lp. Область соо можно рассматривать как континуум начальных положений изображающей точки, движение которой определяется системой уравнений (11.379). Иначе говоря, многообразие точек в области шо образует своеобразную /7-мерную непрерывнуЕО среду. Переходу от одной точки области шо к другой соответствует изменение начальных условий движения изображаюи1,ей точки. Такому изменению начальных условий соответствует особый способ варьирования координат х,, принадлежащий М. В. Остроградскому. Этот способ был рассмотрен в 129. [c.379] В дальнейшем движении указанное многообразие точек тоже будет занимать область со с /7 измерениями. [c.379] Рассмотрим /7-кратный интеграл Др), распространенный на область со. [c.379] Вернуться к основной статье