ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические преобразования. Уравнение и теорема Остроградского— Гамильтона — Якоби из "Курс теоретической механики. Т.2 " Умов высказал в своей докторской диссертации в 1874 г. — за десять лет до появления работы В. Томсона Этапы на пути к кинетической теории материи . [c.352] Уже было отмечено, что задача интегрирования системы уравнений (а) приводится к квадратурам, если все координаты д, ( 12, , QN — циклические. [c.353] Поэтому естественно поставить задачу о разыскании такого преобразования канонических переменных, которое, оставАяя инвариантной форму канонических уравнений (а), превращало бы все координаты в циклические. Если такое преобразование будет найдено, то задача интегрирования системы канонических уравнений будет приведена к квадратурам. Покажем, как можно найти такое преобразование. [c.353] Преобразование канонических переменных, сохраняющее инвариантными канонические уравнения движения, называется каноническим преобразованием. [c.353] Соотношение (с) лишь формально совпадает с равенством (11.144), выражающим принцип Гамильтона — Остроградского, так как в вариационном равенстве (II. 144) нельзя полагать 8Як и брк независимыми и на пределах интегрирования равны нулю только 8Як, а брь могут отличаться от нуля ). Но из соотношения (с) можно найти уравнения (а) в результате рассуждений, аналогичных приведенным в 79. В этом и состоит эквивалентность сотношений (а) и (с). [c.353] Если 8Як и бРк на пределах интегрирования равны нулю, то на этих пределах равны также нулю вариации bQj и ЬРу Это вытекает из соотношений (Ь). [c.353] Здесь Я — функция Гамильтона в новых канонических переменных. Следовательно, искомое преобразование (Ь) должно переводить вариационное равенство (с) в равенство ((1) и наоборот. [c.354] Покажем, что решение задачи интегрирования канонических уравнений сводится к нахождению так называемого полного интеграла уравнения (11.350). [c.356] Далее К. Якоби в своих лекциях, читанных в 1842—1843 гг., показал обобщение этого способа. М. В. Остроградский независимо от К. Якоби тоже обобщил указанный метод. Иным путем к уравнению (11.350) пришел В. Гамильтон. См. М. В. Остроградский, Полное собрание сочинений, т. 1, ч. И, Изд-во АН СССР, 1946, стр, 105—109 К. Я к о б и, Лекции по динамике, ОНТИ, 1936. [c.356] Следовательно, левая часть этого уравнения не изменит-ея, если заменить функцию V функцией V С, где С — постоянная. [c.357] Аргументы t, 71, 72,. .., ( ы — независимые переменные, входящие в уравнение (11.350). Переменные Qu Q2, QN можно рассматривать как постоянные интегрирования. Действительно, функция У, определенная равенством (П.351Ь), должна удовлетворять уравнению (II. 350) при произвольных значениях переменных Q , С 2, , так же, как полный интеграл уравнения в частных производных удовлетворяет этому уравнению при произвольных значениях постоянных интегрирования. [c.357] Можно и непосредственно доказать, что Qj надо полагать постоянными. [c.357] Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358] Этим доказано, что первая группа соотношений (II. 355) удовлетворяет одной из групп канонических уравнений. [c.358] Вернуться к основной статье