ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Заключительные замечания из "Курс теоретической механики. Т.2 " Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346] Существенный вклад в теорию устойчивости движения внесли ученые казанской школы, созданной Н. Г. Четаевым. Оригинальное изложение теории А. М. Ляпунова содержится в книге Н. Г. Четаева ). [c.346] В ИЗ—114 были рассмотрены лишь частные случаи исследования А. М. Ляпунова, связанные с теорией периодических движений. [c.346] Ляпунов сосредоточил внимание на исследовании особых случаев, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. В этих случаях первое приближение не дает определенного ответа на вопрос об устойчивости движения, как это было отмечено выше, и приходится рассматривать приближения высших порядков. [c.346] Указанные вопросы не включены в содержание настоящей книги. Исследования А. М. Ляпунова в этом направлении продолжили ученики Н. Г. Че-таева — И. Г. Малкин и Г. В. Каменков ). [c.346] Некоторые авторы полагают, что возможности применения к решению технических задач результатов, полученных А. М. Ляпуновым, являются ограниченными, так как опре/.еление устойчивости по А. М. Ляпунову отличается тремя особенностями малостью возмущений, отсутствием возмущающих сил II исследованием устойчивости на неограниченно большо.м интервале времени ). Но, во всяком случае, методы А. М. Ляпунова обладают такой общностью, что находят применение и при других подходах к решению вопроса об устойчивости движения. [c.346] В работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского можно найти другие математические способы решения вопроса об устойчивости движения. А. М. Ляпунов для получения уравнений первого приближения пользовался разложениями правых частей уравнений движения в степенные ряды. Названные выше авторы применяли иные способы, в частности, метод усреднения. [c.346] Ч е т а е в. Устойчивость движения, Гостехиздат, 1955. [c.346] Если проанализировать работы этих ученых, го становится ясным, что ими был решен вопрос о свойствах первого приближения, полученного способами, отличающимися от способа А. М, Ляпунова. При этом выяснилось, что в ряде случаев первое приближение позволяет ответить па вопрос об устойчивости движения. Этот результат аналогичен рассмотренным здесь результатам исследований А. М. Ляпунова. [c.347] Вопрос об устойчивости движения необходимо ставить всегда при исследовании каки.м-лнбо приближеннЫ-Ч способом автоколебательных, квазиперио-дических и других движений, с которыми приходится встречаться в задачах нелинейной механики. Исследование устойчивости движения можно провести методами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского ). Указанные вопросы выходят за пределы этого учебника. Мы оставляем также В стороне вопрос об использовании теории устойчивости в современной теории систем автоматического управления. [c.347] Вернуться к основной статье