ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение теорем А. М. Ляпунова об устойчивости движения к вопросу об устойчивости равновесия из "Курс теоретической механики. Т.2 " Возвратимся к теоремам А. М. Ляпунова, приведенным в 87. Рассмотрим их доказательства, указанные А. М. Ляпуновым. [c.344] На основании свойств квадратичной формы Пг можно утверждать, что среди чисел 7 отрицательные и, возможно, равные нулю ). [c.344] Формулировка теоремы наша. [c.344] Знак суммы 2Пг + ЗПз +. .. при достаточно малых абсолютных значениях координат определяется знаком ее первого члена. [c.345] По условию П имеет максимум в положении равновесия. Для существования экстремума при Я1 = q =. = qN = 0 разложение П должно начаться с члена с четным индексом, например, с Пат. На основании условия теоремы этот член в достаточно малой окрестности начала координат отрицателен. [c.345] Окончательно приходим к заключению, что при do тaтoчнo малых абсолютных значениях координат производная положительна. [c.345] Но подбором координат функцию V можно всегда сделать также положительной в некоторой окрестности начала координат. На основании теоремы II 119 состояние равновесия будет неустойчивым. Если Пг = = О, то теорема б) является следствием теоремы а). [c.346] В теоремах А. М. Ляпунова о неустойчивости равновесия рассмотрены практически важнейшие случаи обращения теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.346] Вернуться к основной статье