ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая характеристика двух методов решения вопроса об устойчивости движения, принадлежащих А. М. Ляпунову из "Курс теоретической механики. Т.2 " К аналогичным результатам можно прийти, исходя из системы уравнений Лагранжа второго рода, так как систему дифференциальных уравнений второго порядка всегда можно заменить эквивалентной системой уравнений первого порядка. [c.329] Предположим, что функции 7 и р , входящие в состав правых частей уравнений (И. 326а), являются частными решениями дифференциальных уравнений невозмущенного (основного) движения (II. 325а), удовлетворяющими некоторым начальным условиям, т. е. [c.329] Соотношения (а) при условиях (Ь) определяют закон невозмущенного движения. [c.329] Уравнения (11.327) А. М. Ляпунов называет уравнениями возмущенного движения ). А. М. Ляпунов не останавливается на вопросе о методах составления дифференциальных уравнений возмущенного движения для конкретных случаев задания функций Qh, но замечает, что в уравнениях (11.327) можно заменить независимую переменную t—время — другой переменной, являющейся монотонно возрастающей функцией времени. [c.330] Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330] Возвратимся к рассмотрению уравнений (11.327). [c.330] Если коэффициенты p ,s, а также коэффициенты разложений в ряды функций Rs не зависят явно от времени, то невозмущенное движение называется стационарным для функций Qk, относительно которых исследуется устойчивость. В случае стационарных движений коэффициенты д, , постоянны. [c.331] Если функции phs и коэффициенты разложнеий в ряды функций Rs — периодические функции времени с одинаковым вещественным периодом, то невозмущенное движение называется периодическим. [c.331] Уравнения (II. 330) интегрируются при заданных начальных условиях. Пусть при t = to Xso = fls Величины fls однозначно определяются через величины Ss и ё , о которых упоминалось выще. [c.331] Если отбросить в дифференциальных уравнениях (II. 330) функции Rs, то получим так называемые уравнения первого приближения. [c.331] В исследованиях вопроса об устойчивости движения, проведенных до появления трудов А. М. Ляпунова, предполагалось, что для установления устойчивости или неустойчивости движения достаточно пользоваться уравнениями первого приближения. Это предположение не обосновывалось. Применение уравнений первого приближения без достаточного математического обоснования является общим недочетом упомянутых работ. [c.331] Ляпунов доказал, что решить вопрос об устойчивости движения чаице всего можно на основании дифференциальных уравнений первого приближения. Но в некоторых особых случаях уравнения первого приближения не позволяют найти правильный ответ на вопрос об устойчивости движения, и приходится рассматривать высшие приближения. [c.331] Методы, которыми решается вопрос об устойчивости движения, можно разделить на две группы. [c.332] К первой группе принадлежат способы, приводящие к непосредственному исследованию возмущенного движения на основании определения общих ила частных решений уравнений (11.327). Совокупность способов первой группы образует первый метод А. М. Ляпунова. [c.332] Ко второй группе принадлежат некоторые способы качественного анализа дифференциальных уравнений возмущенного движения. Эти способы основываются на отыскании некоторой функции У 1, XI, Х2,. .., Хп) и исследовании ее полной производной по 1 при предположении, что Х удовлетворяют дифференциальным уравнениям (11.327). [c.332] Совокупность этих способов составляет второй метод А. М. Ляпунова. [c.332] Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332] Вернуться к основной статье