ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближения высших порядков. Метод А. М. Ляпунова и Крылова из "Курс теоретической механики. Т.2 " Краткий обзор результатов в области обоснования методов нелинейной механики можно найти в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и др., цитированных в предыдущем параграфе. [c.294] Нелинейные проблемы механики возникли, конечно, одновременно с оформлением ее теоретических основ. Но первые работы об обосновании приближенных методов, которыми приходится пользоваться при решении нелинейных проблем механики, т. е. задач, сводящихся к решению нелинейных дифференциальных уравнений, относятся к концу прошлого века. [c.294] В основополагающих работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре были впервые построены строгие математические методы исследования периодических решений дифференциальных уравнений. Эти периодические решения образуют сравнительно узкий класс решений дифференциальных уравнений. [c.295] Вопросом о существовании квазипериодических решений дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, в частности автоколебательных движений, занимались Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др. [c.295] Крылову и Н. Н. Боголюбову принадлежит доказательство суще-ствования и исследование основных свойств стационарных квазипериодиче- ских колебаний в автопериодических системах. [c.295] Вопросы обоснования приближенных методов нахождения решений дифференциальных уравнений движения нелинейных систем, в частности метода усреднения, были рассмотрены в основоиолагающих работах Л. М. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), а также Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1934 г. и далее) ). [c.295] В этих работах были исследованы различные случаи, в частности, те, в которых правые части уравнений, аналогичных уравнениям (И. 234а) и (II. 234Ь), — периодические функции относительно I, а также некоторые из тех, в которых правые части уравнений — почти периодические функции I. [c.295] Значительно шире решен вопрос об обосновании метода усреднения в работе Н. Н. Боголюбова О некоторых статистических методах в математической физике и в более поздних работах Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского. [c.295] Первая проблемы проще второй. Как уже отмечалось, она исследовалась в 1934 г. Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси при некоторых дополнительных ограничениях. [c.295] Боголюбовым было проведено исследование первой задачи при. достаточно широких предположениях о свойствах правых частей точных уравнений. [c.295] Приведем формулировку теоремы Н. Н. Боголюбова, относящуюся к первой проблеме. В этой теореме определяется малость ошибки первого приближения. [c.295] Условимся сначала относительно некоторых обозначений и терминов. [c.295] Примечание. Уравнения формы (II. 262Ь) распространяются также и на случай движения системы с несколькими степенями свободы. [c.296] Что касается второй проблемы, связанной с исследованием соответствия свойств точных и приближенных решений на бесконечно большом интервале времени, то она далеко выходит за пределы содержания этом книги. Некоторые вопросы, относящиеся к этой проблеме, рассматриваются ниже, при Изучении основ теории устойчивости движения ). [c.296] Однако здесь эти методы не рассматриваются. Читатель может ознакомиться с ними в различных руководствах по теории колебаний. [c.297] В ряде случаев достаточно эффективны классические способы разложения решений по степеням малого параметра, связанные с именами Остроградского, Ньюкома, Линдштедта, А. Пуанкаре, Ляпунова и А. Н. Крылова 2). А. М. Ляпунов и А. Н. Крылов усовершенствовали классический метод разложения по степеням малого параметра. Это позволяет назвать метод их именами. [c.297] Сжато приведем соображения А. Н. Крылова, изложенные им в работе Вибрация судов ). Рассмотрим два основных случая, с которыми можно встретиться в теории колебаний. [c.297] Уравнение аналогичного вида, при С = О, рассматривал М. В. Остроградский и другие исследователи. [c.297] Этот выбор коэффициента Си позволяюиций избавиться от векового члена с /sin(p/ + е), является основной особенностью метода А. М. Ляпунова — А. Н. Крылова ). [c.299] Вернуться к основной статье