ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые приближенные методы решения..найденных дифференциальных уравнений из "Курс теоретической механики. Т.2 " В этом параграфе приведены лишь простейшие способы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих общий вид (11.232). [c.284] Если е не равно пулю, но является достаточно малой величиной, можно приближенно искать интеграл уравнения (11.232) в форме соотношения (а), где А и а. — функции времени, мало отличающиеся от постоянных величин. Понятие о малости изменений функций А (i) и (/) нуждается в уточнении. [c.284] Аналогичным соотношениям удовлетворяет и a(i). [c.284] Возвратимся к уравнению (11.232). Подставляя в это уравнение выражение (а) и учитывая, что А и а — функции времени, получим нелинейное дифференциальное уравнение с неизвестными функциями A(t) и a(t). Это уравнение можно упростить, воспользовавшись условиями (с) и произволом выбора одной из двух неизвестных функций, удовлетворяющих одному уравнению. Чтобы осуществить эту программу, будем следовать работе Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси ). [c.285] Кроме этого, как уже было отмечено, можно наложить на функции а и Ъ еще одно дополнительное ограничение, так как для их определения имеется лишь одно дифференциальное уравнение (11.232). [c.285] цитированную выше работу. [c.286] Иначе говоря, для достаточно малых значений параметра е разности между соответствующими решениями точных и укороченных уравнений могут быть как угодно малы на как угодно большом, но все же конечном интервале времени. [c.287] Доказательство теоремы Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси читатели могут найти в работе, цитированной выше. [c.287] Вместо дополнительного соотношения между Дна, которое следовало бы ввести, предположим, что а — постоянная величина. Это соответствует одному из свойств стационарных автоколебаний. [c.287] Очевидно, мы получили бы точное решение, определяя х соотношением X = а (t) sin (t — h + a). [c.288] Следовательно, вообще говоря, приближенному определению подлежит не только амплитуда и фаза нелинейных колебаний, но и их частота. [c.288] Заметим также, что при значительных силах сопротивления, т. е. при достаточно больших значениях коэффициента h, приближенное решение (i) теряет смысл. [c.288] Приближенное решение, найденное методом переменной амплитуды, можно применять лишь тогда, когда наперед известно, что колебательное движение мало отличается от синусоидального. [c.288] Это выражение определяет u(f) при колебаниях маятника, близких к стационарным автоколебаниям. [c.288] Вернуться к основной статье