ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование уравнения частот по методу А. Н. Крылова Замечания об иных приближенных методах решения уравнения частот из "Курс теоретической механики. Т.2 " Уравнение (II. 181) называется уравнением частот, или ха-рактеристичееким. Уравнение частот — алгебраическое уравнение степени N относительно . Докажем теорему уравнение частот имеет лишь дейетвительные корни. [c.233] Соотношение (с) подтверждает действительность величин определенных из уравнения частот. Докажем теперь, что действительные числа положительны. [c.234] Теорема о действительности корней уравнения частот доказана. [c.234] Возвратимся к определению коэффициентов Л -. Сначала положим, что уравнение (II. 181) не имеет кратных корней. Тогда на основании условия А = О и отсутствия кратных корней уравнения частот (II. 181) одно из уравнений системы (II. 180) является следствием остальных уравнений. [c.234] Здесь Сд и Ед составляют систему 2N постоянных интегрирования. Они определяются из начальных условий. Величины Ха называются главными частотами. Как видно из равенств (11.184), все колебательное движение является результатом сложения простых гармонических колебательных движений. Каждое синусоидальное слагаемое, входящее в состав qj, называется главным колебанием. [c.236] Рассмотрим некоторые при.меры малых колебаний системы в консераа-тивно.м силовом поле ). [c.236] Решение. Для составления дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода определим сначала число степеней свободы системы п выберем обобщенные координаты. [c.237] Очевидно, число степеней свободы системы равно двум. Обобщенными координатами выберем углы отклонений маятников ф1 и фз от положения их устойчивого равновесия. Предположим, что эти углы достаточно малы. [c.237] Рассмотрим еще один пример. [c.238] Решение. Количество степенен свободы системы в этой задаче, как и в предыдущей, равно двум. Обобщенными координатами изберем углы ф] и ф2 отклонения нити и стержня от вертикали (рис. 34). [c.238] Здесь т —масса стержня. [c.238] Уравнение частот (II. 181) выведено в форме равенства нулю некоторого определителя. Чтобы решить это уравнение, надо сначала развернуть определитель. Но и эта подготовительная операция требует большой затраты времени и усилий, если число степеней свободы системы больше шести. Конечно, в настоящее время задача облегчается посредством применения ЭВМ ). Но и теперь способ преобразования уравнения частот, предлолгениый А. Н. Крыловым в 1931 г., может иметь существенное значение ). [c.240] Изложим, не останавливаясь на деталях, способ А. Н. Крылова. [c.240] В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241] Уравнение (И. 188Ь) является преобразованным по методу А. Н. Крылова уравнением частот ). Искомые частоты входят лишь в первый столбец. Раскрытие определителя в уравнении (И.188Ь) и упорядочение уравнения по убывающим степеням здесь значительно проще, чем при непосредственном применении характеристического уравнения (II. 186). [c.242] В настоящее время найден ряд иных способов преобразования уравнения частот, из которых следует отметить метод А. Данилевского ). Эти методы здесь не рассматриваются. Отсылаем читателей к специальным работам ). [c.242] Кроме методов точного рещення уравнения частот известно значительное количество приближенных методов. Из них отметим метод П. Ф. Пап-ковича, позволяющий е любой точностью вычислять главные частоты ). [c.242] Вернуться к основной статье