ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия. Приближенные выражения кинетической и потенциальной энергий из "Курс теоретической механики. Т.2 " В этой главе рассматриваются, главным образом, движения материальной системы в малой области, к внутренним точкам которой принадлежит начало координат. Предположим, что начало кординат совпадает с положением устойчивого равновесия системы и что выполняется достаточное условие такого равновесия, а именно наличие минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.228] Коэффициенты этой положительно определенной квадратичной формы являются функциями координат точек системы qj и не зависят явно от времени. Они называются иногда коэффициентами инерции . Происхождение этого названия объясняется физическим смыслом этих коэффициентов в частных случаях, как было показано выше. [c.228] Следовательно, кинетическая энергия будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных скоростей с по-стоянными коэффициентами. Далее коэффициенты (й,л)о сокращенно обозначаются ат. [c.229] Здесь с — коэффициент жесткости пружины, х — отклонение точки от положения равновесия. Сравнение формулы (И. 174) с формулой (11. 173) объясняет происхождение указанного термина. [c.230] Если выполняется достаточное условие устойчивости равновесия, то функция П, определенная равенством (11.173), будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат. [c.230] Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230] Необходимо все же отметить, что предварительные соображения, приводящие к упрощению выражений кинетической и потенциальной энергий, нельзя полагать достаточно обоснованными. Действительно, напомним замечания А. Н. Крылова по поводу приближенного метода интегрирования дифференциального уравнения движения сферического маятника ( 229 первого тома). [c.230] Как было показано при рассмотрении движения сферического маятника, пренебрежение членами второго порядка малости в дифференциальных уравнениях движения может привести к потере членов первого порядка малости в интегралах этих уравнений. [c.230] Поэтому следует с известной осторожностью относиться к результатам применения теории малых колебаний. [c.230] Наконец, встречаются задачи теории колебаний, приводящие к рассмотрению линейных дифференциальных уравне 1ий с переменными коэффициентами, являющимися функциями времени. Но эти колебания не происходят вокруг положения равновесия. Поэтому их краткое рассмотрение отнесено к концу этой главы. [c.231] Сначала остановимся на рассмотрении линейных колебаний системы с п степенями свободы. [c.231] Вернуться к основной статье