ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Иное доказательство теоремы об устойчивости равновесия Теоремы А. М. Ляпунова о состоянии равновесия в тех случаях, когда потенциальная энергия системы не имеет минимума из "Курс теоретической механики. Т.2 " Равенство (с) определяет замкнутую поверхность в пространстве, арифметизированном каноническими переменными qj и р,. Положение равновесия — начало координат — является центром семейства поверхностей, определенных равенством (с). [c.225] Рассмотрим движение изображающей точки в пространстве, арифметизированном каноническими переменными. Координаты этой точки и р, всегда удовлетворяют уравнению (с). [c.225] Следовательно, изображающая точка движется на поверхности, определенной равенством (с). Эта поверхность, как уже было указано, замкнута. [c.225] Постоянная к зависит от начальных условий. При уменьшении /г изображающая точка приближается к положению равновесия. [c.226] Следовательно, всегда можно найти такие начальные условия, чтобы координаты точек системы и их скорости были ограничены неравенствами (И.165а). Этим вновь доказана теорема Лагранжа — Дирихле, рассмотренная в 86. [c.226] Ляпунов обобщил метод доказательства теоремы Лагранжа— Дирихле и доказал две теоремы, относящиеся к случаям неустойчивого равновесия системы. [c.226] Предположим, что потенциальная энергия является голоморфной функцией обобщенных координат в некоторой окрестности начала координат и начало координат совпадает с положением равновесия системы. [c.226] Первый член разложения По можно положить равным нулю, как об этом упоминалось выше, член П1 равен нулю на основании условий равновесия (II. 164). [c.226] Здесь приводятся лишь общие замечания о доказательстве указанных теорем. [c.226] Согласно А. М. Ляпунову равновесие называется устойчивым, если можно найти такую область начальных координат и скоростей б(е), что изображающая точка при начальных усло-гиях, принадлежащих к этой области, не выйдет при дальнейшем движении из области А(11), причем область Д(т1) стягивается к началу координат, если к началу координат стягивать область б(е). Это, собственно, и выражают неравенства (И. 165а) и (11. 165Ь). [c.226] Исходя из указанного представления об устойчивости равновесия, в этом параграфе было рассмотрено второе доказательство теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия. [c.227] Изменяя к, мы вновь получим семейство поверхностей в пространстве конфигураций, арифметизнрованном каноническими переменными. Согласно соображениям, приведенным в предыдущем параграфе, эти поверхности будут не замкнуты. [c.227] Как и выше, можно утверждать, что изображающая точка остается во время движения на поверхности К = /г, но в этом случае нельзя утверждать, что, уменьшая к до нудя, мы приблизим изображающую точку к началу координат, которому соответствует положение равновесия. Действительно, точки нулевой поверхности функции К = Я могут быть удаленными на конечное или даже бесконечно большое расстояние от начала координат. Следовательно, в случае отсутствия минимума функции П нельзя утверждать, что существует закая область б(е) начальных значений координат и скоростей точек системы, из которой следует выбирать начальные условия, чтобы заставить изображающую точку при дальнейшем движении оставаться в некоторой области А(т1) вблизи начала координат и стремиться к началу координат, если к нему стягивать область б(е). [c.227] Все это означает отсутствие устойчивости равновесия в смысле. А. М. Ляпунова. [c.227] Конечно, изложенные соображения нельзя рассматривать как доказательство теорем А. М. Ляпунова и тем более общей теоремы о неустойчивости равновесия. Эта теорема не доказана в общем виде до последнего времени. [c.227] Мы вновь возвратимся к затронутым вопросам при изучении общей проблемы об устойчивости движения. [c.228] Вернуться к основной статье