ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Замечания о применении вариационных принципов механики Прямые методы решения задач динамики. Принцип переменного действия из "Курс теоретической механики. Т.2 " При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210] Уравнения движения материальных систем можно найти и на основании принципа Эйлера — Лагранжа. Конечно, в этом случае была бы получена система уравнений, описывающая движение материальной системы со стационарными связями в консервативном силовом поле. Интегральные принципы механики по своему содержанию эквивалентны системам уравнений движения, которые из них вытекают. [c.210] Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210] Требуется найти приближенно закон движения системы для значений времени, мало отличающихся от начального момента времени /о. Далее полагаем = 0. Начальные условия заданы. [c.210] В этом равенстве и а — начальная координата и начальная скорость, А ц В — коэффициенты, подлежащие определению. Будем определять коэффициенты Л и В, применяя принцип Гамильтона — Остроградского. [c.211] Чтобы применить принцип Гамильтоиа — Остроградского, надо найти те моменты времени о и ц, в которые вариация равна нулю. Первым из них примем начальный момент времени. Найдем момент времени П- Моменту времени должно соответствовать некоторое фиксированное положение изображающей точки на ее траектории. Не зная закон движения, можно выбрать это положение произвольно, на основании конкретных условий задачи механики. Пусть, например, в Этом положении скорость движения точки равна нулю. Конечно, такое предположение должно быть согласовано, как уже было сказано, с общими свойствами движения точки, о которых можно составить предварительное представление. [c.211] Найдя отсюда q, из равенства (Ь) получим 9 = 9о -+- 0 1 + At -К 9о-К 2Л/1 + ЗВ 2 = о. [c.211] Уравнения (1), (g), (к), если они совместны, позволяют найти неизвестные А, В а В случае их несовместности надо заменить уравнение (е) и (g) Иными, на основании частных особенностей решаемой задачи механики. [c.212] Эти формулы определяют принцип переменного действия . [c.212] Применим последнее равенство к решению задачи о движении тяжелой материальной точки по вертикали в пустоте. [c.212] Действительный закон движения, если его вообще можно выразить равенствами (т), не должен зависеть от выбора 1. [c.213] Формула (г) выражает действительный закон движения тяжелой материальной точки. [c.213] С другой стороны, видим, что, выбирая произвольно п и можно получить приближенный закон движения со значительной ошибкой. Например, относительная ошибка при вычислении значения координаты х по формуле ( ) при ( = 1 сек близка к 50%. При меньши.х значениях ошибка возрастает. Это, конечно, является результатом чрезмерно упрощенного подхода к приближенному определению закона движения формулой (т). [c.213] Сравнение с формулой (IV. 189) т. 1 показывает, что первые члены полученной приближенной формулы и формулы (IV. 189) т. 1 совпадают. Второй член найденной здесь формулы отличается на 17% от второго члена формулы (IV. 189) т. I. [c.214] В заключение заметим, что вариационные принципы механики широко применяются в механике непрерывных сред. Например, в теории упругости вариационные принципы применяются для получения приближенных решений ряда сложных задач. [c.214] Вариационные принципы находят также разнообразное применение в различных разделах теоретической физики, в частности, в теории относительности. [c.214] Вернуться к основной статье