ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эйлерова форма принципа Эйлера — Лагранжа. Геометрические представления, связанные с принципом Эйлера —Лагранжа из "Курс теоретической механики. Т.2 " Рассмотрим третью форму принципа Эйлера —. Лагранжа, указанную Эйлером. Эта форма непосредственно вытекает из лагранжевой формы (II. 150). [c.206] Это равенство выражает принцип Эйлера —Лагранжа в ме, найденной Эйлером. Л. Эйлер рассматривал движение одной точки. Равенство (II. 153) установлено для системы материальных точек. [c.206] Рассмотрим движение материальной системы, не находящейся под действием активных сил. Такое движение назовем движением по инерции. Конечно, этот термин условен, так как на точки системы действуют реакции идеальных связей. [c.206] Знаки суммирования здесь и далее опущены. [c.206] Полное собрание сочинений, т. 18, стр. 176. [c.206] Возвратимся к равенству (II. 153). Рассмотрим частный случай, Предположим, что материальная точка движется по гладкой поверхности по инерции . В 225 первого тома показано, что при этом точка движется равномерно по геодезической линии. При равномерном движении точки равенство (II. 153) будет по форме совпадать с равенством (II. 156Ь). Оно будет выражать в вариационной форме условие движения материальной точки по геодезической линии. [c.207] Это же условие для многомерного пространства выражается равенством (II. 156Ь) ) Итак, приходим к выводу если определить метрический тензор в пространстве конфигураций равенствами (II. 155), то движение по инерции системы материальных точек соответствует движению изображающей точки по геодезической кривой в упомянутом пространстве. [c.207] Примечание. В связи с получеяным результатом приведем геометрическую интерпретацию достаточных условий существования экстремума функционалов, которыми определяется якобиево и лагранжево действия материальной системы. [c.207] Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы. Геодезическими кривыми на поверхности сферы являются, как известно, дуги больших кругов. Кинетическим фокусом для произвольной точки на поверхности сферы является диаметрально противоположная ей точка. В этом случае смысл условий существования экстремума действия на отрезке MiM траектории точки очевиден. Если точка М% лежит на дуге большого круга ближе к точке Ml, чем диаметрально противоположная ей точка на поверхности сферы, то дуга М1М2 будет действительно кратчайшей дугой среди тех, которые можно провести через точки Mi и М2 на поверхности сферы. [c.207] Если передвигать точку М2 по поверхности сферы вдоль фиксированной дуги большого круга, то после ее перехода через кинетический фокус дуга MiM2 не будет кратчайшей среди дуг, соединяющих точки Mi и Мг на поверхности сферы. [c.207] Полученные результаты можно рассматривать как некоторое обобщение первого закона Ньютона (закона инерции). [c.207] Рассмотрим общий случай движения системы со стационарными связями в консервативном силовом поле. В этом случае надо пользоваться равенством (II. 149). [c.207] Это означает, что в пространстве конфигураций с метрикой, определенной равенствами (II. 157Ь), изображающая точка всегда движется по геодезической кривой. [c.208] Остановимся на этом подробнее. Как видно, движение системы в консервативном силовом поле можно свести к движению по инерции, изменяя соответствующим образом метрику пространства. Силовое поле при этом как бы исчезает. Но внутренняя геометрия пространства оказывается зависимой от потенциальной энергии поля П и движения в нем материи, так как коэффициенты зависят от распределения масс в системе и ее движений. [c.208] Обобщая сказанное, приходим к выводу, что предварительный выбор внутренней геометрии пространства вызывает необходимость введения некоторых силовых полей. Если выбором метрики устраняются силовые поля, то приходим к так называемой физической внутренней геометрии пространства. Понятие о физической геометрии является одной из основ общей теории относительности. Более подробно эти вопросы рассмотрены в ч. IV, гл. IV. [c.208] Физическая геометрия является подтверждением прогнозов Н. И. Лобачевского, упомянутых в 29 первого тома. [c.208] Вернуться к основной статье