ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тензор инерции и его основные свойства из "Курс теоретической механики. Т.2 " В 20 мы впервые встретились с понятием моментов инерции. Теперь рассмотрим более подробно их основные, главны.м образом, геометрические свойства. Это дает возможность расширить область применения основных теорем динамики. [c.77] Если читатель не изучал тензорного исчисления, изловленного в первом томе, то доказательство можно пропуст1]Ть. [c.77] Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78] Этим доказано, что второе слагаемое в правой части равенства (а) также является компонентой смешанного тензора второго ранга. Теорема доказана. [c.78] Аналогичные выражения можно получить и для остальных компонент тензора инерции в новой системе координат Ouvw. [c.78] При этом нужно использовать известные из аналитической геометрии соотношения между направляющими косинусами ортогональных иаиравлений. [c.79] Подстановка выражения (е) в соотношение (d) приводит к формуле (1.91а). [c.79] На основании приведенных выше соображений приходим к выводу, что тензор инерции системы является физической величиной, характеризуюш,ей в целом совокупность моментов инерции относительно осей, принадлежаицих многообразию координатных триедров с вершинами в фиксированной точке — начале координат. Конечно, мы имеем в виду также и центробежные моменты инерции. [c.79] Перейдем к рассмотрению других свойств тензора инерции. Прежде всего, рассмотрим уравнение так называемого эллипсоида инерции в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz. [c.79] Отложим вдоль оси Ои отрезок ON величиной d. Длину этого отрезка выберем ниже. [c.79] Это уравнение поверхности второго порядка, по которой двигается точка Ы, если изменять направление оси Ои. [c.80] Заметим, что квадратичная форма, стоящая в левой части уравнения (1.94), является инвариантом преобразования координат, поскольку константа к не зависит от выбора координатной снсте.мы ). [c.80] Легко убедиться, что поверхность, определенная уравнением (1.94), является эллипсоидом. Действительно, среди невырожденных поверхностей второго порядка есть только одна поверхность, не имеющая точек иа бесконечности. Такой поверхностью является эллипсоид. [c.80] Поверхность, определенная уравнением (1.94), не имеет точек на бесконечности, поскольку отрезок ОМ d — конечный. Действительно, этот отрезок, как видно из формул (I. 93), мог бы стать бесконечно большим лишь при условии, что и обращается в нуль. Но, как видно из определения момента инерции относительно оси, /и всегда является положительной величиной, отличной от нуля. Таким образом, поверхность, определенная уравнением (1.94), может быть только эллипсоидом. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. [c.80] Оси симметрии эллипсоида инерции, построенного для некоторой точки, называются главными осями инерции для этой точки, их направления — главными направлениями, а моменты инерции относительно главных осей — главными моментами инерции ). [c.81] Следовательно, в каждой точке твердого тела или неизменяемой материальной системы можно найти три взаимно ортогональные главные оси инерции. Троек главиы.х осей для одной точки может быть больше, чем одна, только в том случае, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, В тех случаях, когда эллипсоид инерции является сферой, каждый ее диаметр является главной осью инерции. [c.81] Легко видеть, что в тех случаях, когда одна ось системы координат совпадает с одной из главных осей инерции, два соответствующих центробежных момента инерции обращаются в нуль. Действительно, в точке пересечения главной оси с поверхностью эллипсоида радиус-вектор, проведенный из начала координат, и орт нормали к поверхности эллипсоида коллинеариы (рис. 13). [c.81] Аналогичные свойства имеют точки пересечения главных осей эллипса с его контуром. Ясно, что, проводя через любую главную ось эллипсоида плоскость,. мы получим в ее пере-сеченнн с эллипсоидом эллипс, причем главная ось эллипсоида будет вместе с тем и главной осью этого эллииса. [c.81] Но ОСЬ Ох для ЭТОГО эллипса является главной. Тогда ось Оу будет также главной, и значит, = 0. Аналогично можно доказать, что 1хг = 0. [c.82] Вернуться к основной статье