Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама
К изучению движения несвободной материальной точки можно применять теоремы динамики, найденные выше для движения свободной точки. Это можно осуществить, применив аксиому об освобождаемости от связей.

ПОИСК



Сферический маятник. Циклоидальный маятник. Брахистохрона

из "Курс теоретической механики. Т.1 "

К изучению движения несвободной материальной точки можно применять теоремы динамики, найденные выше для движения свободной точки. Это можно осуществить, применив аксиому об освобождаемости от связей. [c.430]
Здесь также приходим к выводу, что в случае стадиона р-ной связи теорема об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки, движущейся по заданной кривой, формально совпадает с этой же теоремой для свободной точки, имеющей массу т и находящейся под действием равнодействующей Р активных сил. [c.431]
Рассмотрим некоторые применения теории движения несвободной материальной точки на примере одного случая движения точки по заданной поверхности и двух случаев движения по заданной кривой. [c.432]
Как видно, реакция направлена вдоль прямой МО в направлении к точке О и в первом приближении равна т . [c.433]
Найденное нами приближение, определяемое формулами (Ь), недостаточно. На это обратил внимание акад. А. Н. Крылов ). [c.433]
Если полагать колебания маятника малыми, то отношение р а и qla можно рассматривать как малые величины первого порядка. [c.434]
Крылов доказал, что если пренебречь при упрощениях уравнений (е) малыми величинами второго порядка малости, в интегралах упрощенных уравнений могут выпасть малые величины первого порядка. Поэтому найденное выше приближение (h) недостаточно. Будем решать уравнение (е), пользуясь методом последовательных приближений. [c.434]
Эти уравнения определяют на плоскости Оху фигуру Лиссажу ). Приближенно можно полагать, что движение проекции сферического маятника на плоскости Оху совершается по эллипсу, ось которого вращается в направлении движения проекции маятника. [c.436]
Угловая скорость вращения оси эллипса равна п . [c.436]
Рассмотрим движение циклоидального маятника, пренебрегая различными силами сопротивления. Найдем закон движения точки М. [c.436]
Мы не будем рассматривать дальнейшие приближения. [c.436]
Можно доказать, что искомая кривая — циклоида. [c.438]
Мы докажем это из элементарных соображений, не обращаясь к общим теоремам вариационного исчисления 1). [c.438]
Чтобы получить точное значение времени Г, нужно выполнить предельный переход в равенстве (а ), неограниченно увеличивая количество п звеньев ломаной. Можно при этом доказать, что при определенных добавочных условиях ломаная, соединяющая точки А V. В, будет приближаться к искомой кривой, как к своей граничной конфигурации. Стороны ломаной при этом приближаются к касательным, проведенным к искомой кривой во всех ее точках. [c.439]
Здесь V зависит только от координаты у, так как движение совершается в консервативном силовом поле силы тяжести. [c.439]
Найденное выражение Т — функционал ). Задача заключается в определении такой кривой, соединяющей точки А и В, чтобы функционал (Ь ) имел минимум при произвольных Хо и Хх. Эта задача решается посредством применения общих методов вариационного исчисления. Мы решим ее менее строго, применив элементарные методы. [c.439]
Возвратимся к равенству (а ). Будем рассматривать как функцию абсцисс вершин ломаной а,-. Тогда определение фермы ломаной, при которой будет наименьшим, сводится к задаче об экстремуме функции я переменных О . [c.439]
Равенство (d ) выражает основное свойство искомой ломаной, непосредственно вытекающее из условия задачи. [c.439]
Как видно, искомая кривая принадлежит к семейству циклоид. Параметры семейства — постоянные а и С. Они определяются из условия прохождения кривой через точки А и В. [c.440]
Найденная циклоида в связи с отмеченным выше свойством, явившимся поводом для ее определения, называется брахистохроной (кривой наименьшего времени ). [c.440]


Вернуться к основной статье

© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте