ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сферический маятник. Циклоидальный маятник. Брахистохрона из "Курс теоретической механики. Т.1 " К изучению движения несвободной материальной точки можно применять теоремы динамики, найденные выше для движения свободной точки. Это можно осуществить, применив аксиому об освобождаемости от связей. [c.430] Здесь также приходим к выводу, что в случае стадиона р-ной связи теорема об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки, движущейся по заданной кривой, формально совпадает с этой же теоремой для свободной точки, имеющей массу т и находящейся под действием равнодействующей Р активных сил. [c.431] Рассмотрим некоторые применения теории движения несвободной материальной точки на примере одного случая движения точки по заданной поверхности и двух случаев движения по заданной кривой. [c.432] Как видно, реакция направлена вдоль прямой МО в направлении к точке О и в первом приближении равна т . [c.433] Найденное нами приближение, определяемое формулами (Ь), недостаточно. На это обратил внимание акад. А. Н. Крылов ). [c.433] Если полагать колебания маятника малыми, то отношение р а и qla можно рассматривать как малые величины первого порядка. [c.434] Крылов доказал, что если пренебречь при упрощениях уравнений (е) малыми величинами второго порядка малости, в интегралах упрощенных уравнений могут выпасть малые величины первого порядка. Поэтому найденное выше приближение (h) недостаточно. Будем решать уравнение (е), пользуясь методом последовательных приближений. [c.434] Эти уравнения определяют на плоскости Оху фигуру Лиссажу ). Приближенно можно полагать, что движение проекции сферического маятника на плоскости Оху совершается по эллипсу, ось которого вращается в направлении движения проекции маятника. [c.436] Угловая скорость вращения оси эллипса равна п . [c.436] Рассмотрим движение циклоидального маятника, пренебрегая различными силами сопротивления. Найдем закон движения точки М. [c.436] Мы не будем рассматривать дальнейшие приближения. [c.436] Можно доказать, что искомая кривая — циклоида. [c.438] Мы докажем это из элементарных соображений, не обращаясь к общим теоремам вариационного исчисления 1). [c.438] Чтобы получить точное значение времени Г, нужно выполнить предельный переход в равенстве (а ), неограниченно увеличивая количество п звеньев ломаной. Можно при этом доказать, что при определенных добавочных условиях ломаная, соединяющая точки А V. В, будет приближаться к искомой кривой, как к своей граничной конфигурации. Стороны ломаной при этом приближаются к касательным, проведенным к искомой кривой во всех ее точках. [c.439] Здесь V зависит только от координаты у, так как движение совершается в консервативном силовом поле силы тяжести. [c.439] Найденное выражение Т — функционал ). Задача заключается в определении такой кривой, соединяющей точки А и В, чтобы функционал (Ь ) имел минимум при произвольных Хо и Хх. Эта задача решается посредством применения общих методов вариационного исчисления. Мы решим ее менее строго, применив элементарные методы. [c.439] Возвратимся к равенству (а ). Будем рассматривать как функцию абсцисс вершин ломаной а,-. Тогда определение фермы ломаной, при которой будет наименьшим, сводится к задаче об экстремуме функции я переменных О . [c.439] Равенство (d ) выражает основное свойство искомой ломаной, непосредственно вытекающее из условия задачи. [c.439] Как видно, искомая кривая принадлежит к семейству циклоид. Параметры семейства — постоянные а и С. Они определяются из условия прохождения кривой через точки А и В. [c.440] Найденная циклоида в связи с отмеченным выше свойством, явившимся поводом для ее определения, называется брахистохроной (кривой наименьшего времени ). [c.440] Вернуться к основной статье