ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тензорные поля. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная. Геодезические кривые из "Курс теоретической механики. Т.1 " Рассмотрим некоторые обобщения понятий, введенных в 204. Скалярные и векторные поля представляют собой частные случаи тензорных полей. Тензорным полем называется часть пространства, каждой точке которого можно поставить в соответствие определенное значение компонент тензора. Тензор, определенный этими компонентами, является функцией точки поля или ее радиуса-вектора. [c.385] Пользуясь общей криволинейной системой координат, рассмотрим операцию дифференцирования тензора, образующего поле. Поле, образованное тензором, над которым выполняется операция дифференцирования, называется основным. Мы ставим перед собой цель построить особые агрегаты, имеющие в своем составе частные производные компонент тензора, и которые в свою очередь являются компонентами тензора, образующего новое поле. [c.385] В прямолинейных системах декартовых координат компоненты построенного таким образом тензора должны приводиться к частным производным компонент тензора, образующего основное поле. [c.385] Начнем с рассмотрения частных случаев, а далее обобщим их, пользуясь инвариантными свойствами тензоров определенного ранга. [c.385] Как будет видно из дальнейшего, операция дифференцирования скалярных функций дает возможность полностью установить свойства ковариантных компонент символа V. [c.385] В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386] Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386] Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386] Рассмотрим дифференцирование ковариантного тензора второго ранга Ти,. [c.386] Совершенно очевидно, что в прямолинейной системе декартовых координат компоненты абсолютной производной совпадают с частными производными компонент тензора Г ,,. [c.387] Таким образом, мы доказали теорему Риччи абсолютная производная метрического тензора равна нулю. [c.388] Из этого вытекает, что при абсолютном дифференцировании метрический тензор обладает свойствами постоянной величины. [c.388] Теперь можно доказать, что величины, определенные формулами (IV. 148) и (IV. 150), представляют собой смешанные и ковариант-ные компоненты одного тензора, а не двух разных. Предлагаем проверить это читателю. [c.388] Наконец, скажем несколько слов о параллельном переносе век-торов. [c.388] В соответствии с формами (IV. 157) и (IV. 158) символы Кристоф-феля иногда называют параметрами параллельного переноса. [c.388] Рассмотрим кривую х ==х (в). Допустим, что касательные во всех точках этой кривой между собой параллельны. Такую кривую линию можно назвать прямейшей . Ее называют также геодезической кривой. [c.388] Вернуться к основной статье