ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые простейшие применения дифференциальных уравнений движения материальной точки. Методические указания к решению задач динамики из "Курс теоретической механики. Т.1 " В этом параграфе мы рассмотрим простейшие задачи динамики точки, чтобы дать первые представления о методике применения дифференциальных уравнений движения. Поэтому в каждом случае будет обращено внимание на последовательность в ходе решения этих задач. [c.323] Пусть тяжелая материальная точка падает по вертикали 05, имея начальную скорость и 0 начальное положение точки М определяется координатой 5д. [c.323] Однако отсюда не следует, что эта задача может быть всегда решена в замкнутой форме. Чаще всего решение конкретных задач сопровождается существенными аналитическими. затруднениями. Подробности читатель найдет в курсах теории интегрирования дифференциальных уравнений и курсах математической физики. [c.323] Точка движется под действием силы тяжести Р=т и соиротиилеиип среды —т.иЬ ) (рис. 164). Найти закон движения точки, а) Выбираем способ задания движения точки. [c.324] Здесь можно выбрать как координатный, так и естественный способ задания движения, так как траектория движения точки прямая. Применим здесь естественный способ задания движения. [c.324] На точку М (рис. 164) действуют две силы сила тяжести Р, направленная в положительном направлении ндоль траектории 08, и сила соиротивлепия среды Я, направленная в сторону, противоположную вектору скорости V. Если проекция п. 0, то проекция силы сопротивления Я на ось 08 будет отрицательной. [c.324] ма дифференциальных ураппеннп движения в данном случае свелась к одно.му уравнению. [c.324] Соотношение (с) — второй интеграл уравнения (а). [c.324] Рассматривая равенство (а), видим, что скорость точки асимптотически приближается к предельному значению Vglk. К этому же выводу можно непосредственно прийти, исследуя уравнение движения (а). [c.325] Пусть начальная скорость Уд точки М образует с горизонтом угол а (рис. 165). Найти закон движения точки. [c.325] Как и в предыдущем случае, наметим общую последовательность решения задачи. [c.325] Рассмотрим силы, действующие на точку, находящуюся в произвольном положении на траектории. Из условия задачи видно, что единственной силой, приложенной к точке, является сила тяжести P=mg (рис. 165). [c.325] Положим Г- с. будем исчислять время с момента начала движения. [c.326] Как видно из уравнения (1), точка М движется по параболе с вертикальной осью. [c.326] Полученное квадратное уравнение относительно lga может иметь. либо действительные (разные или равные) корни, либо корни комплексные. В первых двух случаях задача будет иметь решение. Механический смысл комплексных корней уравнения ()) заключается в том, что при заданной начальной скорости точка М не может пройти через фиксированную точку а, Ь) плоскости Оху. Эта точка находится за границей области обстрела . [c.326] Как видно из уравнения (к), огибающая — это парабола с вертикальной осью. Она называется параболой безопасности. [c.326] Ограничимся этими сжатыми замечаниями о баллистической задаче в ее наиболее простой постановке. [c.327] Этот пример можно рассматривать как обобщение предыдущего. Пусть тяжелая материальная точка М (рис. 166) движется в среде с сопротивлением, являющимся функцией скорости R=mf (о). [c.327] Если траектория точки заранее неизвестна, то чаще всего применяется координатный способ задания движения точки. [c.327] Несмотря па это, применим для решения задачи естественный способ задания движения. [c.327] Вернуться к основной статье