ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние нагрева на напряженно-деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии из "Сопротивление материалов Изд.2 " Пример 4.3. Найдем продольные силы простой трехстержневой фермы (рис. 4.20), возникающие в результате действия на нее силы Р. Будем считать, что все стержни этой фермы выполнены из одинакового материала с модулем упругости 1-го рода Е и имеют одинаковые поперечные сечения площади F. [c.85] Этот простой пример показывает, что при решении статически неопределимых систем к уравнениям статики добавляются уравнения совместности деформаций. [c.87] А это геометрически означает, что должна быть равна нулю пло-ш адь эпюры бх х). [c.89] Здесь OL — коэффициент линейного температурного расширения. Из формулы (4.6.1) видно, что а измеряется в град и по своему смыслу а. — это удлинение стержня единичной длины при нагревании на один градус в этом случае А1 = а 1 1. [c.89] Чтобы отличить удлинение стержня, образовавшееся вследствие нагрева, мы ввели у А1 верхний индекс t. [c.89] Удлинение стержня под действием продольной силы N будем обозначать через а при одновременном действии нагрева и продольных усилий — как А. [c.89] Эта гипотеза по существу постулирует принципы суперпозиции для силовой и температурпой деформаций. Для конструкционных материалов она с достаточной точностью подтверждается экспериментально. [c.90] Это соотношение по суш еству дополняет закон Гука слагаемым, учитываюш,им линейное температурное расширение. Заметим, что изменение температуры может сказаться и на первом слагаемом в (4.6.4), если учесть, что, вообще говоря, модуль упругости Е также зависит от температуры, т.е. что Е = E t) (см. п. 3.4.2). [c.90] Пример 4.5. Найдем напряженно-деформированное состояние знакомого нам по примеру 4.1 бруса, показанного на рис. 4.27 а, при его нагреве. Закон изменения температуры по длине бруса дан на рис. 4.27 б. [c.90] Точно так же из условия равновесия отсеченной части на учатке 13 получим, что и на этом участке продольная сила не возникает, т.е. [c.90] Если нагрев происходит при одновременном нагружении бруса внешними силами, нанример, рассмотренными в примере 4.1 (см. рис. 4.13), то по принципу суперпозиции, постулированному гипотезой Дюамеля-Неймана, результат одновременного действия нагрева и нагрузок может быть получен как сумма результатов их действия в отдельности. Иными словами, в этом случае мы можем получить решение, просуммировав эпюры, данные на рис. 4.13 и 4.27. [c.91] Заключая этот пример, обратим внимание читателя на то, что при действии только нагрева на рассмотренный брус уравнения равновесия его отсеченных частей (4.6.5) и (4.6.6) являются однородными. В силу статической определимости бруса они полностью и однозначно определяют продольные силы. И поскольку эти уравнения являются линейными относительно искомых продольных сил Nq-i и iVi 3, то в силу их однородности они имеют единственное нулевое решение. Простота же. I. 21 уравнений (4.6.5) и (4.6.6) не меняет их обш их свойств линейности, однородности и однозначной разрешимости. [c.91] Рассмотрим знакомую нам уже ферму, изображенную на рис. 4.18. Пусть на нее не действуют внешние силы, а стержни 1, 3 VL 5 нагреваются на температуру At (рис. [c.91] Эти три свойства характерны для уравнений равновесия любой статически определимой системы. Из них в силу общих свойств решений линейных алгебраических уравнений следует, что при действии только нагрева в статически определимых системах не появляется продольных сил, а при одновременном действии внешних сил и нагрева нагрев не сказывается на величинах продольных сил и они определяются только нагрузкой. [c.93] Пример 4.7. Определим напряженно-деформированное состояние заделанного с двух сторон бруса, показанного на рис. [c.93] На участке 1-3 причинами удлинения являются как продольная сила так и нагрев, те. [c.95] Знак — в полученных для Rq и выражениях свидетельствует о том, что истинные направления этих реакций не соответствуют направлениям, принятым при составлении уравнений равновесия всего бруса (4.6.8) и его частей (см. рис. 4.33). В нашей задаче нетрудно, конечно, угадать истинные направления реакций, так как, стремясь расшириться при нагреве, брус упирается в опоры, реакции которых создают в нем сжимаюш ую силовую деформацию, компенсируюш,ую температурное расширение. Но в более сложных системах это сделать иногда очень трудно. Наш пример показывает, что в этом и пет необходимости, так как знак у полученной в результате решения реакции покажет, совпадает ли истинное ее направление с принятым при составлении уравнений равновесия и совместности. [c.96] Таким образом, в отличие от статически определимых систем, в статически неопределимых системах при нагреве их элементов обычно возникают продольные силы. [c.98] Конечно, можно найти такие распределения температур по системе при ее нагреве, чтобы ее деформация не сопровождалась возникновениями усилий в стержнях. Например, для показанной на рис. 4.34 фермы нагрев 3-го стержня можно сопровождать таким охлаждением 1-го и 2-го стержней, чтобы их температурные удлинения и укорочения полностью компенсировались, т.е. удовлетворяли условию (4.6.17). Тогда в ферме никаких усилий не возникнет. При решении это обстоятельство выразится в том, что уравнение совместности деформаций после перехода к усилиям станет однородным. А это вместе с однородностью уравнений равновесия приведет к единственному нулевому решению. [c.98] Вернуться к основной статье