ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема о параллелограмме сил. Сила как скользящий вектор из "Курс теоретической механики. Т.1 " Теперь рассмотрим сложение сил, направленных вдоль общей прямой. Воспользуемся следующей аксиомой. [c.252] Аксиома 2. Если на точку М тела действует п одинаковых сил Р, направленных в одну сторону вдоль общей линии действия, то такая система сил приводится к равнодействующей Р=пР. [c.252] На этом основании можно доказать теорему о сложении сил, направленных вдоль общей линии действия. [c.252] Теорема 1. Система сил, прилоо/сенных вдоль общей линии действия, всегда приводится к равнодействующей. Равнодействующая этой системы сил равна их геометрической сумме ). [c.252] Доказательство, а) Рассмотрим сначала систему сил Р и О, направленных в одну сторону (рис. 118). Предположим, что модули этих сил соизмеримы. Пусть их общей мерой будет модуль силы Р. так что Р= Р, 0=тР (пит — натуральные числа). Тогда на основании последней аксиомы утверждаем, что система приводится к равнодействующей Р=(т-[-п) Р= Р+О. [c.252] Теперь перейдем к теореме о правиле параллелограмма сил. [c.253] Теорема 2. Равнодействующая системы двух сил, приложенных к одной точке, определяется по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. [c.253] Теперь перейдем непосредственно к доказательству правила параллелограмма сил. [c.253] Докажем сначала, что равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, направлена по диагонали параллелограмма, построенного на слагаемых силах. [c.253] Разделим отрезок Л1А= Я и вместе с тем силу Р на /г равных частей, а отрезок MB=Q и силу О на т равных частей ). Эти части раины общей мере модулей сил Р и О. Через точки деления отрезков МА и МВ проведем прямые, параллельные линиям действия сил Р и О. Тогда получим параллелограмм МАЫВ, разложенный на систему тп равных ромбов. [c.254] Эти силы имеют одинаковые модули, равные длинам ромбов, на которые разложен параллелограмм МАМВ. Тогда все силы, действующие вдоль сторон МА и МВ, можно полагать уравновешенными. Также уравновешиваются силы, приложенные по внутренним сторонам сетки ромбов. [c.254] Остаются неуравновешенными силы, приложенные вдоль сторон ЛЛ/ и В. . Силы, приложенные вдоль прямых ЛЫ и В,V, на основании теоремы I этого параграфа, приводятся к приложенным в точке N силам, равным силам Р и О по величине и направлению. [c.254] Следовательно, равнодействующая сил Р и О должна проходить через точки М и N. Из этого вытекает, что линией действия равнодействующей является диагональ параллелограмма МАМВ, так как силу можно переносить из одной точки твердого тела в другую лишь вдоль ее линии действия. [c.254] Доказательство будем вести от противного. [c.254] Построим на отрезках МА = Р и МВ=0 параллелограмм MANB. Предположим, что равнодействующая сил Р и О направлена не по диагонали ММ параллелограмма, а по прямой МВ, лежащей над диагональю ММ. Проведем ВВЦМА. Разделим отрезок МА на некоторое количество равных отрезков, меньших, чем ЕВ, и отложим несколько таких отрезков вдоль прямой МВ так, чтобы конечная точка С последнего отрезка лежала между точками Е и В. Тогда модули сил Р и МС будут соизмеримы. Их равнодействующая будет направлена по прямой МР. Теперь сложим эту промежуточную равнодействующую и силу СВ. Перенесем силу СВ в точку М и заметим, что равнодействующая силы СВ и промежуточной равнодействующей силы Р и МС должна, на основании аксиомы 1 этого параграфа, лежать внутри угла РМВ. Итак, равнодействующая сил Р и О лежит внутри угла РМВ, что противоречит предыдущему предположению о том, что эта равнодействующая направлена по прямой МО, лежащей вне угла РМВ. Значит, предыдущее предположение о том, что равнодействующая сил Р и О проходит по прямой МО, надо отвергнуть. Точно так же можно доказать, что равнодействующая сил Р и Ц не может быть направлена по прямой МС, лежащей ниже диагонали ММ. [c.254] Последнее замечание позволяет найти численную величину ЫН, а значит, модуль равнодействующей сил Р и О. Действительно, величина и направление стороны МВ параллелограмма МВСВ, а также направления стороны и диагонали МС полностью определяют параллелограмм. Проведем через точку В прямую ВСЦМВ до ее пересечения в точке С с прямой МС. [c.255] Распространение доказательства теоремы о параллелограмме сил на случай сил, приложенных к одной материальной точке, можно осуществить на основании следующего утверждения. [c.255] Движение материальной точки не изменится, если полагать, что эта точка принадлежит неизменяемой среде, движущейся поступательно вместе с нею, и что силы, действующие на точку, прилоз1сены к этой неизменяемой среде. [c.255] Нетрудно убедиться, что это утверждение — следствие аксиомы об абсолютно твердом теле и теоремы о перенесении вектора силы вдоль ее линии действия. [c.255] Вернуться к основной статье