ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы о парах скользящих векторов из "Курс теоретической механики. Т.1 " Теорема 1. Пару скользящих векторов нельзя привести к равнодействующему скользящему вектору. [c.165] Доказательство. Эту теорему обычно доказывают рассуждением от противного . Предположим, что пара скользящих векторов (А, —А) имеет равнодействующий вектор Я (рис. 69). Из предыдущего видно, что при любом соотношении величин параллельных векторов Ах и Аз, как бы ни была близка к нулю сумма А1+А2, равнодействующая К должна лежать в плоскости, определенной параллельными основаниями векторов А,-. Предположим, что вектор К не параллелен векторам пары. [c.165] Тогда эта пара вместе с вектором —К должна образовать систему, эквивалентную нулю. [c.165] складывая последовательно векторы —А и —Р, а затем и А, мы получим систему, неэквивалентную нулю. Итак, мы пришли к противоречию с исходным предположением. Точно так же мы придем к противоречию, допустив, что равнодействующая Н параллельна векторам пары. [c.165] Другой способ рассуждений основан па рассмотрении формулы, эквива.иеитной (II. 158). Из этой формулы видно, что при Ах+Аа О основание равнодействующего вектора бесконечно удаляется, а сам он по модулю стремится к нулю. [c.165] Если исключить из рассмотрения бесконечно удаленные элементы пространства, как те, где мы не имеем права прилагать физический вектор, мы вновь придем к выводу, что пара скользящих векторов не имеет равнодействующего вектора. [c.165] Известно мнение, что исключение бесконечно удаленных элементов пространства в механике не оправдано, так как оно приводит к необходимости отдельного изучения свойств пар скользящих векторов и это изучение является по существу излишним ). Но последовательное проведение этих взглядов существенно усиливает абстрактность изложения, что не соответствует основному способу изложения, принятому в настоящей книге. [c.165] Все же несколько ниже мы подробнее остановимся па этом способе изложения, позволяющем значительно сократить объем курса, но сначала сосредоточим внимание на элементарных доказательствах теорем, определяющих свойства систем скользящих векторов. [c.165] Теорема 2. Пару скользящих векторов, не изменяя движения тела, можно заменить парой, лежащей в плоскости, параллельной плоскости действия заданной пары. [c.165] Доказательство. Предположим, что пара скользящих векторов (А, —А) лежит в плоскости Р (рис. 70). Пусть Q — плоскость, параллельная плоскости Р. Приведем в плоскости Q отрезок d, равный и параллельный отрезку аЬ. Приложим в точках ud по два вектора, равные по модулю и параллельные вектору А, направленные в противоположные стороны. Эти системы векторов эквивалентны нулю. [c.166] Рассмотрим вектор А пары, лежащей в плоскости Р, и равный ему и одинаково направленный вектор А, приложенный в точке С. Эти два вектора можно заменить равнодействующим вектором 2А, приложенным в точке О пересечения диагонали параллелограмма abed. [c.166] Теорема 3. Пару скользящих векторов, не изменяя движения тела, можно заменить парой, занимающей в плоскости действия данной пары произвольное положение. [c.166] Доказательство. Рассмотрим пару скользящих векторов (А, —А) с плечом аЬ (рис. 71). Выберем в этой же плоскости произвольный отрезок сй=аЬ. Допустим, что отрезки d и аЬ не параллельны. [c.166] Приложим в точках с и й нулевую систему скользящих векторов А1, равных по модулю А и направленных перпендикулярно к сд. [c.166] Случай параллельных отрезков аЬ и ей, которому соответствует параллельное перенесение плеча и скользящих векторов пары, не требует отдельного исследования. [c.167] Здесь можно непосредственно применить теорему 2. [c.167] Теорема 4 (теорема об эквивалентности пар скользящих векторов). Дее пары скользящих векторов, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях и имеющих одинаковые моменты, эквивалентны. [c.167] Для определенности положим Лх Ла, соответственно /1х /1а. Покажем теперь, что вторую пару можно преобразовать так, что она будет идентична первой паре, но повернута относительно первой на некоторый угол. Последнее несущественно, как это видно из теорем 2 и 3. [c.167] равнодействующая векторов Аа— Ац и Ац вместе с вектором—Аз, приложенным в точке (1, образуют нулевую систему. Остается пара с плечом се=1г1, образованная векторами Ац и —А,,. На основании теорем 2 и 3 пару можно перенести так, что она будет совпадать с первой парой. Этим исчерпывается доказательство теоремы. [c.168] Следствие. Пара скользящих векторов полностью определяется своим моментом. Момент пары скользящих векторов — свободный вектор. [c.168] Вернуться к основной статье