ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Криволинейные системы координат. Переменный местный координатный базис. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная векторной функции скалярного аргумента из "Курс теоретической механики. Т.1 " Переходим к рассмотрению применения криволинейных систем координат к определению движения точки. Частным случаем применения криволинейных координат является естественный способ, рассмотренный в предыдущих параграфах. [c.91] Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92] Рассмотрим теперь коэффициенты преобразования и Р кова-риантных и контравариантных компонент векторов. [c.92] Найденные здесь соотношения позволяют распространить рассмотренные в ч. I операции тензорной алгебры на произвольную систему криволинейных координат. [c.93] Переходим к рассмотрению операций дифференциального исчисления в криволинейных системах координат. [c.93] Рассмотрим теперь скалярные произведения e,-de =— e -de . [c.93] Величины называются символами Кристоффеля второго рода. Далее мы найдем формулы, связывающие символы Кристоффеля с компонентами метрического тензора. Из формулы (П.59) видно, что символы Кристоффеля второго рода симметричны относительно нижней пары индексов. [c.93] Следовательно, эти символы симметричны относительно индексов / и к. [c.94] Выражения (11.60а) и (П.бОЬ) вместе с формулами (11.63) и (11.64) определяют контравариантные и ковариантные компоненты абсолютных дифференциалов переменного вектора а. [c.94] Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94] Отношение абсолютного дифференциала ёа к дифференциалу времени (И мы будем называть далее абсолютной производной вектора а по в неподвижной системе координат. [c.94] Вернуться к основной статье