ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Математические основы инженерных расчетов на ЭВМ из "Автоматизация проектирования металлорежущих станков " Прямая реализавдя этого ряда не рекомендуетсв, так как яри возведении в степень больших нлн малых значений аргумента могут быть получены числа, не реализуемые в ЭВМ. Программы в таких случаях строятся с помощью последовательного наращивания суммы ряда. [c.37] Иногда при вычислениях используются непрерывные функции, заданные в виде таблиц, например, полученных в результате эксперимента (табл. 3). [c.38] Для того чтобы в ходе выполнения программы могли вычисляться значения функции в промежуточных точках по отношению к точкам Xq, Xi,. .., Хп, производится интерполяция табличной функции. [c.38] Численное дифференцирование применяют в том случае, когда функция задана таблично или когда выражение для производной имеет сложный вид. [c.39] Используя лишь несколько первых членов, получим приближенное выражение для каждой производной. [c.40] При численном интегрировании используют формулы трапеции, средних, Симпсона, Гаусса и т. д. и формулы обычно приводят для интегрирования на равномерной сетке. [c.40] Методы решения линейных систем уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют за конечное число операций получить точное решение. Итерационные методы предполагают получение решения с заданной точностью за несколько циклов. Итерационные методы выгодны для систем большого порядка с разреженными матрицами [141. [c.40] Одним из прямых методов является метод исключения Гаусса, который достаточно просто реализуется на ЭВМ. Метод заключается в приведении матрицы системы уравнений к треугольному виду. Затем система уравнений решается обратным ходом. Приведение к треугольному виду осуществляется с помощью эквивалентных преобразований сложением строк матрицы, умноженных на соответствующие коэффициенты. [c.40] Точность вычисления неизвестных переменных методов Гаусса повышается выбором главного элемента (наибольшего в столбце) и перестановкой его на главную диагональ (за счет перестановки строк). Алгоритм метода исключения Гаусса приведен в 114]. [c.40] В результате решения необходимо определить корни этого уравнения. В основном для конструкторских задач имеют смысл только действительные корни, т. е. точки, где функция / (х) пересекает ось абсцисс. Задача поиска корней у уравнения (7) имеет несколько этапов. Сначала определяется число корней и отрезки, где они расположены. Затем находятся приближенные значения корней и производится их уточнение. Число действительных корней можно определить с помош ью теоремы Штурма [14]. Полезно построить график функции / (х), с помощью которого можно найти области расположения корней. Исходя из конструктивных соображений, почти всегда удается существенно сузить область поиска корней. Приближенные значения корней уточняются с помощью итерационных методов. Наиболее эффективными из них, с учетом реализации на ЭВМ, являются методы дихотомии, простой итерации и метод Ньютона (рис. 21). Для использования этих методов необходимо знать интервал (а, Ь), на котором находится интересующий нас корень. [c.41] А — его левый конец (блок 6). [c.41] Если это произведение меньше или равно нулю, корень лежит на левом полуинтервале, в противном случае корень лежит на правом полуинтервале и нужно его взять для последующей процедуры половинного деления. [c.41] Метод половинного деления неприйеним для систем алгебраических уравнений, так как имеет небольшую скорость сходимости к точному решению. Этот метод абсолютно устойчив и прост в реализации на ЭВМ. [c.42] Таким образом, в результате первой итерации получаем значение Xj, подставляя его в функцию t/g (х), в результате второй итерации получаем приближенное значение корня в виде х.2 и т. д. После очередной итерации (см. рис. 21, б) уточняется значение корня по отношению к его точной величине х. Метод алгоритмически устойчив, если на отрезке (хо, Xj), г/г (х) 1. Чем меньше г/г (х) [, тем быстрее итерации сходятся к х. [c.42] Метод простой итерации можно использовать и для системы алгебраических уравнений. [c.42] Метод Ньютона так же, как и метод простой итерации, применяется для решения систем алгебраических уравнений. [c.43] Вернуться к основной статье