ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоремы сложения и умножения вероятностей из "Статистическая физика и термодинамика " Вероятности сложных событий находятся через вероятности простых событий с помощью теорем сложения и умножения вероятностей. [c.9] Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий, когда наступление одного из них исключает наступление другого. Примером является выпадение того или иного значения физической величины. [c.9] Теорема умножения вероятностей справедлива только для независимых событий, для которых вероятность наступления или нена-ступления одного из них никак не связана с наступлением или нена-ступлением другого. Наиболее частый случай ее применения — расчет вероятности одновременного появления заданных значений двух или более физических величин. [c.9] Для непрерывно изменяющейся величины среднее значение равно а — adW (а) = а/ (а) da. [c.9] Последняя формула верна только для независимых случайных величин. [c.10] Эту характеристику будем использовать для оценки разброса значений случайной физической величины. [c.10] Геометрически распределение (1.3) можно истолковать как вероятность попадания некоторой частицы в элемент объема dV = dxdydz вблизи точки с координатами х, у, z в условном пространстве, где по осям декартовых координат откладываются значения трех указанных величин х, у и z. [c.10] Физическая величина называется аддитивной, если ее значение для сложной системы равно сумме ее значений для всех независимых частей. [c.11] отклонения аддитивных величин от средних значений тем менее существенны, чем из большего числа независимых частей состоит система. [c.12] Основным понятием статистической физики является распределение вероятностей для различных состояний отдельных частиц или всей системы в целом. Для ознакомления с таким способом изучения систем, состоящих из большого числа частиц, воспользуемся максвелловской теорией идеального газа. [c.12] Пусть каждая молекула представляет собой материальную точку массой т. Изменение скорости ее движения происходит вследствие упругих соударений с другими частицами. Поставим целью найти распределение вероятностей для скоростей частиц. [c.12] Г1редположим, что все направления движения молекулы в пространстве являются равновероятными. Это утверждение вытекает из представлений о полной неупорядоченности движения частиц в равновесном состоянии газа. Допустим также, что все три проекции скорости Vy и представляют собой независимые друг от друга случайные величины. [c.12] Отметим две характерные детали в этих формулах. Во-первых, плотность вероятности для всех проекций выражается одной и той же функцией / в силу их полного равноправия. Во-вторых, распределение вероятностей может зависеть лишь от модуля проекции, но не от ее знака. Молекулы со значением проекции — 100 м/с должны встречаться столь же часто, как и со значением проекции —100 м/с. Поэтому аргументом функции / во всех трех формулах служит квадрат проекции. [c.12] Вероятность того, что молекула будет двигаться с некоторой скоростью V, равна вероятности того, что три проекции скорости примут соответствующие значения Vy и v . [c.12] Очевидно, что Р О, иначе, чем больше скорость, тем больше была бы ее вероятность. Постоянные А и В определяются из условия нормировки, причем из (2.5) следует, что В = А . [c.13] Используя (П. 6), находим См. Приложение . [c.13] Для полученных формул характерно наличие постоянного параметра Р, который определяет число молекул с различными скоростями. Это специфическая характеристика состояния газовой системы. Ее появление связано с особенностями статистического метода исследования. Для выяснения физического смысла параметра распределения вычислим давление газа. [c.14] Основная трудность расчета давления заключается в том, что молекулы имеют разные скорости. Если бы у всех молекул была одна и та же проекция скорости то можно было бы рассуждать так за время М все частицы в слое толщиной дошли бы До стенки. Их среднее число равнялось бы объему этого прилегающего к стенке слоя умноженному на плотность газа п, т. е. [c.15] Распределение вероятностей для скоростей (2.6) допускает геометрическое истолкование оно определяет вероятность попадания конца вектора скорости в элемент объема условного пространства скоростей, где по осям декартовых координат откладываются и (рис. 2). Перейдем к сферическим координатам у, 6 и ф. [c.16] Аналогичные характеристики могут быть введены для каждой из проекций и для полной скорости частицы. [c.17] Вернуться к основной статье