ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода из "Теоретическая механика в примерах и задачах Том 2 Динамика издание восьмое " При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, I.e. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат. [c.486] ДОМ составления систем дифференциальных уравнений движения материальных систем. [c.487] Полученные выше при решении подавляюшего большинства задач динамики системы уравнения могут быть непосредственно выведень1 с помощью уравнений Лагранжа. Если по условию задачи требуется найти реакции связей, то, определив с помощью уравнений Лагранжа ускорения точек системы, применяют закон освобождаемости от связей к соответствующей массе системы с последующим использованием одной из общих теорем динамики либо метода кинетостатики. Если при решении задачи динамики отсутствует ясный штан применения тех иш иных теорем, то следует остановиться на применении уравнений Лагранжа. [c.487] Все сказанное выше не умаляет значения общих теорем, которыми целесообразно пользоваться при решении ряда простых задач динамики (см. ниже гл. 11). [c.487] Уравнения Лагранжа второго рода, или уравнения в обобщенных координатах, были получены французским математиком и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736—1813) и опубликованы им в трактате Аналитическая механика (1788). [c.487] Лагранж полностью отказался от геометрической трактовки в механике- Все учение о равновесии и движении он свел к некоторым общим уравнениям. В основу статики он положил принцип возможных перемещений. В основу динамики он положил сочетание принципа возможных перемещений с принципом Даламбера (методом кинетостатики) и ввел обобщенные силы и обобщенные координаты. [c.487] Задача 10.38. Вывести дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, воспользовавшись уравнениями Лагранжа. [c.488] Направим ось z вдоль оси вращения твердого тела. Обозначим /z — момент инерции твердого тела относительно оси вращения, Fi, р2, , Fn активные силы. [c.488] Задача 10.39. Доказать изохронность колебаний циклоидального маятника. [c.490] Решение. Циклоидальным называется маятник, который может быть схематизирован в виде материальной точки, движущейся по дуге циклоиды. [c.490] Покажем, что колебания циклоидального маятника, в отличие от колебаний математического, обладают свойством изохронности, т.е. его период колебаний не зависит от начальных условий движения. [c.491] Обычное представление о циклоиде связано с траекторией точки А, лежащей на ободе колеса, которое катится без скольжения по прямолинейному рельсу (рис. а). [c.491] На рис. б изображено колесо, массой которого по сравнению с массой точки А, укрепленной на его ободе, можно пренебречь. Колесо катится по рельсу, расположенному над ним. Покажем, что движение точки А является колебательным около нижней точки В циклоиды. Период этих колебаний не зависит от начальных условий движения. [c.491] Единственной активной силой является сила тяжести материальной точки, которую мы обозначим F. [c.491] Это значит, что колебания циклоидального маятника обладают свойством полной изохронности, т.е, период его колебаний не зависит от начальных условий движения. [c.493] Уравнение (И) определяет колебания с центром z = 0. Учитывая, что Z = os(v /2), найдем р 2. = vjl, тл. = и. Таким образом, показано, что центр колебаний расположен в нижней точке В циклоиды (рис. б) Эволюта циклоиды также является циклоидой, тождественной исходной. Поэтому для осуществления рассматриваемого маятника следует вырезать шаблон, изображающий два участка дуг циклоиды, примыкающие к ее точке возврата О (рис. в). Нить длиной I = 4г при колебаниях частично накладывается то на левую, то на правую части шаблона, а материальная точка, находящаяся на конце нити, при этом движется по циклоиде. [c.493] Дифференциальное уравнение (9) можно также получить, воспользовавшись уравнением Лагранжа в форме (3 ), т.е. [c.493] Колесо 2 считать однородным круглым диском, а кривошип ОА — тонким однородным стержнем. Силами сопротивления движению пренебречь. [c.494] Вернуться к основной статье