ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ГЛАВА И, ИНТУИТИВНОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ из "Равновесная и неравновесная статистическая механика Т.2 " В третьей части этой книги мы постараемся понять процесс эволюции во времени большой системы молекул. В принципе, вероятно, возможно рассмотреть поставленную задачу решив уравнение Лиувилля при надлежащем выборе начальных и граничных условий. Детальный анализ такого решения должен выявить все особенности, наблюдаемые в макроскопической физике. Сказанное основано на следующей фундаментальной идее если задана некоторая система, описываемая в момент времени f = О произвольным распределением ансамбля, то ее эволюцию во все последующие времена можно объяснить посредством точных законов классической или квантовой механики. Иными словами, мы утверждаем, что для понимания кажущегося противоречия между поведением большой совокупности молекул и основными законами движения не требуется никакой качественной модификации законов механики. [c.9] Главным образом мы имеем в виду знаменитый парадокс необратимости, который можно проиллюстрировать многими простыми способами. Рассмотрим, например, ящик, разделенный перегородкой на две секции, каждая из которых наполнена газом при двух различных давлениях. Если в момент времени f = О разрушить перегородку, то газ будет перетекать из секции с высоким давлением в секцию с низким давлением до тех пор, пока давление в обеих секциях ящика не станет одинаковым. В этот момент ) достигается равновесное состояние, и макроскопическая эволюция прекращается. Обратный поток после установления равновесия никогда не наблюдается. [c.9] После затухания крупномасштабных (гидродинамических) движе-. — Прим. ред. [c.9] Однако данную главу мы начнем с более традиционного интуитивного рассмотрения нескольких типичных систем. При описании этих простых случаев мы умышленно принимаем, что законы движения молекул отклоняются от точных законов механики, и либо в одном, либо в другом пункте вводим в рассуждения элемент, обладающий вероятностной природой. В последующих главах мы постараемся понять и обосновать подобные очевидные отклонения. [c.10] Изучение упомянутых традиционных теорий, хотя оно и не является нашей основной целью, играет очень важную роль. Оно дает возможность великолепно ориентироваться в типах тех уравнений, которые мы должны получить из более общей теории. Кроме того, оказывается, что уравнения, полученные этим грубым методом, являются совершенно справедливыми (в области их применимости) и что точно в таком же виде их можно получить из общей теории. Уже само по себе зто обстоятельство говорит об огромной физической интуиции основателей кинетической теории и прежде всего Людвига Больцмана. [c.10] При использовании кинетических уравнений, рассмотренных в настоящей главе, очень важно наглядно представлять себе описываемый ими процесс эволюции, обращая особое внимание на его отличие от картины, которую дает обычная механика . [c.10] Оба поставленных вопроса обсуждаются в трех последующих главах. Выяснив эти вопросы, мы уже будем иметь основание для того, чтобы попытаться глубже понять более принципиальные аспекты эволюции многочастичных систем во времени. [c.10] Для простоты мы ограничиваемся одномерными обозначениями. Обобщение на случай трех измерений не вызывает трудностей. [c.11] Прежде всего следует количественно определить случайную функцию А (t). Сделаем следующие предположения. [c.12] Это условие гарантирует, что средняя скорость броуновской частицы в точности подчиняется макроскопическому уравнению (11.2.1), т. е. что в среднем флуктуации компенсируют друг друга. [c.12] В последнем уравнении суммирование производится по всевозможным способам разбиения 2п переменных ty,. . на п пар. [c.12] Можно показать, что данное предположение эквивалентно предположению о том, что распределение переменной А (t) описывается гауссовым законом, который связан с законом больших чисел (или с центральной предельной теоремой) теории вероятностей. [c.13] Эта последняя формула очень интересна сама по себе. Она показывает, что на малых временах t (2 ) флуктуал ии скорости определяются главным образом начальным значением г д. Однако на больших временах начальное значение постепенно забывается, и средний квадрат скорости приближается к значению а/2 , которое всецело определяется механизмом столкновений и не зависит от начальной скорости. [c.14] Для завершения теории следует выразить постоянную а через молекулярные параметры. Очевидно, наши предположения имеют качественный характер и не могут дать необходимой информации. Можно, однако, избежать сложного вычисления а на основе первых принципов, действуя следующим обходным путем. У нас есть все основания считать, что конечным зтапом эволюции является состояние теплового равновесия, отвечающее температуре жидкости Т. [c.14] Эта формула завершает ваши вычисления ). В очень простой и очевидной форме она описывает процесс, заключающийся в том, что броуновские частицы забывают свои начальные скорости и эволюционируют к равновесию под действием столкновений с частицами жидкости. Этот пример содержит все типичные черты необратимой эволюции. [c.15] Однако следует четко представлять, что традиционная теория броуновского движения является лишь полуфеноменологической. Конечное состояние равновесия не было выведено из теории, а, наоборот, было введено в нее. Важный параметр фиксируюпщй временную шкалу эволюции, предполагался заданным. Так же как и константа а, он содержит все сложные динамические процессы механизма столкновения. [c.15] В заключение мы должны подчеркнуть другой существенный для теорий необратимости аспект, с которым мы снова столкнемся в дальнейшем. При вычислении интеграла в соотношении (11.2.11) использовалось приближение, справедливое только в случае достаточно больших времен (t Хс). Позтому простое выражение (11.2.13) следует рассматривать как асимптотический результат. Можно сказать, что выражение (11.2.13) не дает точного описания движения (даже при упрощающих предположениях, сделанных с самого начала). Скорее его следует расс) 1атривать как крупноструктурную , или сглаженную во времени , картину, в которой мелкие детали движения (на временной шкале х ) размываются. Последнее обстоятельство дает основание полагать, что необратимость вводится в теорию именно посредством временного сглаживания. Позже мы увидим, как следует понимать зту идею в рамках общей теории. [c.15] Задача о броуновском движении является частным примером применения общей теории случайных, или стохастических, процессов. Применяя эту теорию, можно полуфеноменологическим образом рассмотреть многие другие задачи. И наоборот, позже будет показано, что точное исследование проблемы многих тел позволяет обосновать справедливость этих методов во многих важных случаях. Поэтому представляется интересным дать обзор нескольких обшдх идей и методов теории стохастических процессов. [c.15] Мы не рассматриваем вычисление высших моментов и, которое совершенно аналогично вычислениям, проделанным выше. Разумеется, в этом вычислении соотношения (11.2.5) и (11.2.6) играют важную роль. [c.15] Более крупными точками представлены более вероятные значения у. Пунктирной линией изображена максимально вероятная траектория. [c.16] Вернуться к основной статье