ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ ГАМИЛЬТОНА из "Равновесная и неравновесная статистическая механика Т.1 " Законы движения индивидуальных частей рассматриваются как данные их вывод не является предметом статистической механики. Однако эти законы образуют фундамент данной науки и должны быть известны. Разумеется, в рамках одной книги невозможно рассмотреть все системы, перечисленные выше, и мы ограничимся лишь частным классом таких систем. Тем не менее обпще методы и идеи, развитые в настоящей книге, можно с большим или меньшим успехом применять к изучению самых различных проблем. [c.15] Основной особенностью динамики Гамильтона является ее структура, которой определяется и изящество этой теории, и ее широкая применимость. Эта структура является обш ей для классических и квантовых систем. В данной главе мы дадим обзор классической и квантовой динамики, специально подчеркивая соответствуюш ие структурные аспекты. Для понимания статистической механики важно хорошо чувствовать ее структуру, чтобы проследить за тем, где и как на окончательной стадии теряется гамильтонов характер описания. [c.16] С 2N взаимно ортогональными осями, соответствующими переменным (qi,. . ., р ). Это пространство называется фазовым пространством (иногда также Г-пространством). Оно играет фундаментальную роль, определяя область применимости динамики и статистической механики. Хотя при iV 1 невозможно изобразить это пространство на листе буд1аги, для уяснения этой концепции можно воспользоваться диаграммами, построенными в трехмерном пространстве, как на фиг. 1.2.1, хотя эта аналогия и не вполне точна. [c.17] Приведенное выше описание полностью определяет состояние системы в данный момент времени, скажем при t = 0. Однако главная цель динамики заключается в изучении эволюции системы во времени. В динамике Гамильтона движение полностью определено, если мы зададим для системы некоторую особую динамическую функцию Н q, р), назьшаемую гамильтонианом ). Эта функция полностью характеризует динамическую природу системы. Известно, что с физической точки зрения в большинстве случаев (но не всегда) Н q, р) представляет полную энергию системы. [c.18] Такая система 2N уравнений позволяет определить единственным, образом значения qt, pi во все моменты времени по их начальным значениям qt (0) = pi (0) = р . Через каждую точку фазового пространства проходит одна и только одна траектория, удовле-творяюш ая уравнениям (1.2.4). [c.18] Уравнение (1.2.9) означает, что скобка также и не ассоциативна Это соотношение называется тождеством Якоби. [c.19] Множество всех динамических функций будет именоваться динамической алгеброй 3). Причина этого названия заключается в том, что можно комбинировать любые элементы 3) посредством операций сложения, умножения и образования скобок Пуассона, не выходя за пределы множества. Любое множество, на котором определены три перечисленные операции, формально называется алгеброй, или, точнее, алгеброй Ли. [c.20] Такие операторы [а] играют фундаментальную роль в динамике Гамильтона и статистической механике. [c.20] В статистической механике вторая точка зрения более естественна. В самом деле, множество (д, р) раз и навсегда определяет фазовое пространство. Мы хотим описывать все явления в этом единственном фазовом пространстве и, следовательно, не хотим рассматривать g и р как изменяющиеся объекты. [c.21] Это уравнение дает формальное решение начальной задачи для уравнения (1.2.7). (Такое решение все же лишь формально, так как на этом зтапе мы не изучаем никаких вопросов, связанных со сходимостью, интегрируемостью и т. д.) Оператор U (t) определяет преобразование от начального значения Ъ к значению Ъ (t) зтой функции в момент времени t иногда его называют оператором Грина или пропагатором. [c.22] Формально множество U (t) называется однопараметрической непрерывной гргргпой преобразований (или группой Ли). Привилегированный злемент Н называется генератором или производящим элементом группы. [c.23] Таким образом, мы получаем бесконечное семейство преобразований они называются группой канонических преобразований. Каждое из них обладает теми же свойствами, что и U (t). Следовательно, мы можем сформулировать фундаментальное свойство динамика Гамильтона инвариантна относительно всякого кано-ническозо преобразования. [c.24] Из инвариантности алгебры S) относительно канонических преобразований вытекает замечательное следствие, которое можно выразить следующим образом. [c.24] Пусть базисные переменные g и р преобразуются в q а), р (а) некоторым каноническим преобразованием, порождаемым элементом G-. [c.24] Иными словами, при каноническом преобразовании произвольная динамическая функция переходит в ту же самую функцию преобразованных переменных. В самом деле, для любой аналитической функции вида (1.2.2) величина Ъ q, р) строится из переменных (q, р) комбинированием операций сложения и умножения. Так как операции сзпимирования и умножения сохраняются при канонических преобразованиях [см. формулы (1.2.30) и (1.2.31)], сразу же получаем (1.2.33). [c.24] Вернуться к основной статье