ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вдавливание штампа в плоскую грань криволинейной трапеции из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " Эти уравнения, соответствующие контактным задачам для полосы, хорошо изучены, и для их решения может быть использован большой арсенал эффективных методов. [c.200] Функция Эри, представленная таким образом, при произвольных Dn позволяет удовлетворить граничным условиям (5.35), (5.36) исходной краевой задачи. Заметим, что Ф (ж, у) соответствует задаче о внедрении штампа в слой, а Ф (ж, у) + Ф (ж, у) есть кусочно-однородные решения, имеющие нулевые вертикальные смещения под штампом и нулевые напряжения вне его. [c.200] Тогда проблема удовлетворения граничных условий (5.37) сводится к нахождению Dn таких, чтобы невязки Т[ и Т2 обратились в ноль. Краевым условиям на боковой границе мы будем удовлетворять приближенно, т. е. в бесконечной сумме (5.45) оставим конечное число членов. Для чего мы будем использовать альфа-алгоритм Ремеза. [c.200] Заметим, что, взяв N однородных решений (5.49)-(5.53) и М неоднородных решений задачи (5.39), когда q x) = Т2 (ж)/у 1 — (п = = 1.М) (см. (5.76)-(5.78) и (5.81), (5.82)) и использовав метод Галеркина или вариационные принципы, получим простую и достаточно эффективную численную схему решения поставленной задачи. С другой стороны, решая интегральное уравнение (5.40), а затем выполняя условия (5.46) на боковой поверхности, можно без больших дополнительных затрат решать несколько задач для разных форм боковой поверхности при заданной постоянной Л одновременно. В данной работе нас в большей степени будет интересовать задача удовлетворения краевых условий на боковой поверхности Г, а последний подход позволяет применять численные методы нахождения наилучшего приближения, эффективность применения которых, в такого рода задачах, будет далее показана. [c.205] Наиболее удобен в этом случае метод ортогональных многочленов, но как показывает опыт, применение этого метода ограничено наличием в правой части интегрального уравнения осциллирующих функций. Скорость изменения этих функций увеличивается с ростом номеров однородных решений и уменьшением Л, что приводит к неоправданному увеличению линейной системы для достижения необходимой точности и увеличению М в (5.84). При увеличении же М растут затраты на вычисление сумм (5.76)-(5.78). Для преодоления этой трудности, а также с целью унификации подходов в удовлетворении граничных условий на боковой поверхности и под штампом, сведем задачу нахождения решения уравнений (5.44) к задаче Чебышева о наилучшем равномерном приближении на компакте. [c.206] Корректность поставленной задачи следует из свойств полиномов Чебышева и оператора интегрального уравнения [88]. Так как область определения компактна и система функций an t) есть система Чебышева при достаточно больших Л, то к задаче можно применить алгоритм Ремеза как I, так и II рода. Численный эксперимент показывает эффективность применения обоих методов, и трудно отдать предпочтение одному из них. Отметим только, что алгоритм II рода требует несколько больших затрат времени, но значительно проще в реализации. [c.206] При использовании такого подхода попутно определяется абсолютная погрешность, с которой полученное решение удовлетворяет уравнению. Во всех рассмотренных в 5.3 случаях она не превышала 0,01 %. [c.207] Исходными параметрами являются N — количество однородных решений, Л — безразмерная величина, равная отношению высоты призмы к полуширине штампа (рис. 5.10), R y) — функция, задающая форму боковой поверхности. [c.207] Приводится также величина А, равная максимальной абсолютной погрешности удовлетворения краевым условиям на боковой поверхности. [c.207] Для первой серии экспериментов исходными параметрами являются X = 2, N = 0, if = 0. Расстояние Ь между осью у и образующей меняется от 1,0 до 4,0. На рис. 5.12, а приведены Р/2 (кривая /), давление в центре штампа д(0) (кривая 2), коэффициент при особенности х ) (кривая 3). [c.208] Видно как решение при 6 — сю переходит в решение для слоя, а при Ь I — к вырожденному решению, т. е. решению соответствующему несмешанной задачи о сжатии прямоугольника, причем в этом заведомо худшем случае x(t) отличается от точного не более чем на 3,5%. [c.208] На рис. 5.12,6 приведены функции x t) при Ь — 1 (кривая 4), Ь — = 1,1 (кривая 3), Ъ — 1,5 (кривая 2) Ъ — 2,0 (кривая /). Видно как происходит перераспределение давления под штампом от краев к центру при приближении края боковой поверхности к штампу. [c.208] В табл. 5.3 приведены значения контактных напряжений q x), жесткость Р, погрешность А, а в табл. 5.4 значения х Ь) в тех же точках и под краем штампа. [c.208] В табл. 5.6 приведены те же величины, что и в табл. 5.5 но для Л = 4. Видно как изменяется поведение системы штамп-упругое тело при увеличении толщины слоя. Отметим, что эффективность метода при различных значениях параметра целиком зависит от способа решения интегрального уравнения (5.40). В нашем случае при Л 0,1 погрешность решения не более 0,01 %. [c.210] Третьей серии соответствует рис. 5.14, а. Приведены Р/2, (0), х ) (соответственно кривые 1, 2, 3), когда боковая поверхность трапеции описывается соотношением R y) = В + А — os (тгу/2Л)) при В = 1,5, Л = 2,0, iV = 10 в зависимости от параметра А, меняющегося от —0,5 до +0,5. [c.210] На рис. 5.14,6 приведена зависимость x(t) при А= —0,5, —0,25, 0,0, 0,5 (соответственно кривые 7, 2, 3, 4). [c.210] В табл. 5.7 приведены контактные давления, жесткость и погрешность для этой серии. Видно как ухудшаются аппроксимационные свойства однородных решений при искривлении боковой границы. В табл. 5.8 приведены результаты для той же серии, но при увеличенном = 15. Видно, что при увеличении количества однородных решений точность удовлетворения краевых условий существенно возрастает для слабо искривленной поверхности и незначительно для сильно искривленной. [c.212] Из вышеизложенного видно, что для достаточно искривленной образующей получаются во всех отношениях приемлемые результаты. Все расчеты требовали минимального расчетного времени на ПК, что также говорит о высокой эффективности метода. [c.212] Вернуться к основной статье