ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Контактные задачи для кольцевого сектора, кольца и усеченного клина из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " В этом параграфе в полярной системе координат методом сведения парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей и методом однородных решений исследован ряд контактных задач для кольцевого сектора, кольца и усеченного клина. [c.118] Задачи, близкие по постановке, рассматривались в работах [66, 98, 280] и др. [c.119] Система (3.82) может быть исследована методом редукции [88. Наибольшие трудности реализация изложенной методики встречает при вычислении обратной матрицы Е где необходима факторизация функции К (а). Для преодоления этой трудности воспользуемся приближенной факторизацией, для чего аппроксимируем на действительной оси функцию К и) функцией (1.13). [c.122] При такой замене погрешность решения не превосходит погрешности аппроксимации [88], и элементы Тпк матрицы E легко вычисляются по формулам (1.14). [c.122] Напомним, что при выполнении числовых расчетов в качестве iSn и i(3k следует брать соответственно нули и полюсы функции L[a). [c.122] Это позволяет суммировать главную часть ряда из (3.84). Решение задачи, полученное с помощью изложенного в этом пункте асимптотического подхода, не учитывает влияния боковых граней сектора и справедливо при близких значениях радиусов сектора i 2 я R. [c.123] Соотношения (3.87), (3.90), (3.92) и другие, связанные соответственно с вычислениями контактных напряжений под штампом, силы Р и момента М, содержат неизвестные коэффициенты х , (е = О, 1). Их будем находить из редуцированных бесконечных систем (3.82). [c.124] Число уравнений N в редуцированной системе выбираем в зависимости от заданной точности, а при вычислении величин по формулам (3.77), (3.88), (3.90), (3.92) ряды заменяем конечными суммами из N слагаемых. [c.124] Величина P вычисляется по формуле (3.90), где xj , х следует брать из соотношений (3.86). [c.124] Вычисления производились для случая плоской деформации при и = 0,3, т.е. в расчетах и заменялось на ui = vjiX - и), Е яа Е = = Е/ - и ), и далее полагалось и = 0,3. [c.124] В табл. 3.8 для сравнения приводятся значения величин q (f) и Р, вычисленные методом редукции и асимптотическим методом для некоторых значений х, Ь — Ь2, h — 0,5 и v — 0,3. [c.125] Из таблицы 3.8 видно, что при увеличении кривизны происходит распределение контактного давления с относительным увеличением в точке (/9 = 0. Кроме того, хорошо видна область применимости асимптотического решения. [c.125] В формулах (3.97), (3.98) функции Wf (r), 14(г), стгк, г (г) и известны (в дальнейшем понадобится только Wf (r) и А к)), q t) — функция распределения контактных давлений, которую необходимо определить. [c.128] Здесь суммирование ведется по всем нулям ак функции А(ак), расположенным в правой полуплоскости. Заметим, что А к) = А к) (к 2) (см. (3.108)). [c.128] Подставляя (3.101) в (3.106), получим бесконечную систему для определения коэффициентов Dk. [c.129] Замечания. 1°. Для элементов dk = DkW R2)qk t) ряда (3.101) выполняется соотношение dk = o[exp(-/3fe(7 - t ))] при любых t и при больших к, а следовательно, ряд (3.101) при t г сходится не медленнее, чем сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. [c.130] Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131] Схема решения состоит в том, что решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений задач, которые отличаются от поставленной выше функциями 5к ф), а именно, для любого к 5к ф) = = (5 os (р = ф - 2к у). Такие задачи в силу свойств симметрии эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами и известными условиями на торцах. [c.131] Величина пР, равная разности между пределом функции К (и) при и О и значением К 0), отлична от нуля в случае скользящей заделки на нижней грани и равна нулю в случае ее жесткого защемления. [c.138] Вернуться к основной статье